Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm
Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm
Các quy tắc cơ bản để tính đạo hàm (tổng, hiệu, tích, thương) và phương pháp tính đạo hàm của hàm số hợp.
Thuật ngữ:
Đạo hàm của tổng, hiệu; Đạo hàm của tích, thương; Đạo hàm của hàm số hợp; Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản (lượng giác, mũ, lôgarit).
Kiến thức, kĩ năng:
Tính đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản; Sử dụng thành thạo các công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm hàm số hợp; Vận dụng các quy tắc đạo hàm giải quyết bài toán chuyển động, dao động điều hoà và tốc độ phản ứng hoá học thực tiễn.
Tình huống mở đầu: Vận tốc ném vật thẳng đứng từ mặt đất
Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu $v_0 = 20\text{ m/s}$. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao $h$ so với mặt đất (tính bằng mét) của vật tại thời điểm $t$ (giây) sau khi phóng được cho bởi công thức:
Câu hỏi đặt ra: Hãy tính vận tốc của vật khi nó đạt độ cao cực đại và khi nó chạm đất.
Các quy tắc tính đạo hàm trong bài học này sẽ giúp ta tìm ra công thức vận tốc $v(t) = h'(t)$ một cách nhanh chóng và chính xác.
Hình 9.7. Vật phóng theo phương thẳng đứng
1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
1.1 Đạo hàm của hàm số $y = x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$)
a) Tính đạo hàm của hàm số $y = x^3$ tại điểm $x$ bất kì.
Hướng dẫn: Với số gia $h$ của biến số tại $x$, ta có:
$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \frac{3x^2 h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2$$
Khi $h \to 0$, ta được: $(x^3)' = \lim_{h \to 0}(3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2$.
b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số $y = x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$): $(x^n)' = n x^{n-1}$.
Hàm số $y = x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và:
Ghi nhớ: $(x)' = 1;\; (x^2)' = 2x$
1.2 Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$
Với $x > 0$ và số gia $h$ sao cho $x + h > 0$ ($h \ne 0$): $$\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} = \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$$ Do đó: $(\sqrt{x})' = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Hàm số $y = \sqrt{x}$ có đạo hàm trên khoảng $(0; +\infty)$ và:
Ví dụ 1 (SGK trang 88):
Tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$ tại các điểm $x = 4$ và $x = \frac{1}{4}$.
Với mọi $x \in (0; +\infty)$, ta có $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Do đó: $$y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}; \qquad y'\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1.$$
2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của $y = x^3 + x^2$ tại điểm $x$ bất kì: ta thu được $y' = 3x^2 + 2x$.
b) So sánh $(x^3 + x^2)'$ và $(x^3)' + (x^2)'$: Nhận thấy $(x^3 + x^2)' = (x^3)' + (x^2)' = 3x^2 + 2x$.
Giả sử các hàm số $u = u(x)$ và $v = v(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$. Khi đó:
Chú ý và Hệ quả quan trọng:
- Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu có thể áp dụng cho tổng, hiệu của nhiều hàm số: $(u + v - w)' = u' + v' - w'$.
- Với $k$ là một hằng số thực: $$(ku)' = ku'$$ (Được phép đưa hằng số ra ngoài dấu đạo hàm).
- Đạo hàm của hàm số nghịch đảo ($u = 1$): $$\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2} \quad (v \ne 0)$$ Đặc biệt khi $v = x$: $$\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2} \quad (x \ne 0)$$
Ví dụ 2 (SGK trang 89):
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 2x + 1$; b) $y = \frac{2x+1}{x-1}$.
Lời giải:
a) Ta có:
$y' = \frac{1}{3}(x^3)' - (x^2)' + 2(x)' + (1)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x + 2(1) + 0 = x^2 - 2x + 2$.
b) Với mọi $x \ne 1$, áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: $$y' = \frac{(2x+1)'(x-1) - (2x+1)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{2(x-1) - (2x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}.$$
Ví dụ 3 (SGK trang 89 – 90): Giải quyết bài toán ném vật mở đầu
Phương trình chuyển động của vật là $h(t) = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$.
Vận tốc của vật tại thời điểm $t$ được cho bởi đạo hàm của độ cao theo thời gian:
$$v(t) = h'(t) = (v_0 t)' - \left(\frac{1}{2}gt^2\right)' = v_0 - \frac{1}{2}g(2t) = v_0 - gt.$$
• Vật đạt độ cao cực đại tại thời điểm $t_1$ khi vận tốc triệt tiêu ($v(t_1) = 0$): $$v_0 - gt_1 = 0 \iff t_1 = \frac{v_0}{g} = \frac{20}{9{,}8} \approx 2{,}04\text{ (giây)}.$$ Tại thời điểm này, vận tốc của vật bằng $0\text{ m/s}$.
• Vật chạm đất tại thời điểm $t_2 > 0$ khi độ cao $h(t_2) = 0$: $$v_0 t_2 - \frac{1}{2}g t_2^2 = 0 \iff t_2\left(v_0 - \frac{1}{2}gt_2\right) = 0 \iff t_2 = \frac{2v_0}{g} = \frac{40}{9{,}8} \approx 4{,}08\text{ (giây)}.$$ Khi chạm đất, vận tốc của vật là: $$v(t_2) = v_0 - g \left(\frac{2v_0}{g}\right) = v_0 - 2v_0 = -v_0 = -20\text{ (m/s)}.$$ Ý nghĩa: Dấu âm của $v(t_2)$ thể hiện chiều chuyển động của vật lúc chạm đất (rơi xuống) ngược với chiều dương đã chọn (hướng lên trên).
Luyện tập 1 (SGK trang 90):
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$; b) $y = (\sqrt{x} + 1)(x^2 + 2)$.
Lời giải:
a) Với $x > 0$: $$y' = \frac{(\sqrt{x})'(x+1) - \sqrt{x}(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1) - \sqrt{x}(1)}{(x+1)^2} = \frac{\frac{x+1 - 2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2} = \frac{1 - x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}.$$
b) Với $x \ge 0$, áp dụng quy tắc đạo hàm của tích: $$y' = (\sqrt{x}+1)'(x^2+2) + (\sqrt{x}+1)(x^2+2)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}(x^2+2) + (\sqrt{x}+1)(2x) = \frac{x^2+2 + 4x^2 + 4x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{5x^2 + 4x\sqrt{x} + 2}{2\sqrt{x}}.$$
3. Đạo hàm của hàm số hợp
3.1 Khái niệm hàm số hợp
Diện tích của một chiếc đĩa kim loại hình tròn bán kính $r$ được cho bởi $S = \pi r^2$. Bán kính $r$ thay đổi theo nhiệt độ $t$ của chiếc đĩa, tức là $r = r(t)$. Khi đó, diện tích của chiếc đĩa phụ thuộc nhiệt độ $S = S(t) = \pi [r(t)]^2$. Ta nói $S(t)$ là hàm số hợp của hàm $S = \pi r^2$ với $r = r(t)$.
Giả sử $u = g(x)$ là hàm số xác định trên khoảng $(a; b)$, có tập giá trị chứa trong khoảng $(c; d)$ và $y = f(u)$ là hàm số xác định trên khoảng $(c; d)$.
Hàm số $y = f(g(x))$ được gọi là hàm số hợp của hàm số $y = f(u)$ với $u = g(x)$.
Hình 9.8. Sơ đồ ánh xạ hàm hợp
Giải: Hàm số $y = (2x+1)^{10}$ là hàm số hợp của hàm số $y = u^{10}$ với $u = 2x+1$.
3.2 Quy tắc đạo hàm của hàm số hợp
• Viết công thức hàm số hợp theo biến $x$: $y = (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$.
• So sánh: $y'_x = 4x^3 + 4x = 4x(x^2+1)$; trong khi $y'_u = 2u$ và $u'_x = 2x \implies y'_u \cdot u'_x = 2u \cdot 2x = 4x(x^2+1)$.
Nhận thấy: $y'_x = y'_u \cdot u'_x$.
Nếu hàm số $u = g(x)$ có đạo hàm $u'_x$ tại $x$ và hàm số $y = f(u)$ có đạo hàm $y'_u$ tại $u$ thì hàm số hợp $y = f(g(x))$ có đạo hàm $y'_x$ tại $x$ là:
Ví dụ 5 (SGK trang 90 – 91):
Tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x^2 + 1}$.
Luyện tập 2 (SGK trang 91):
Tính đạo hàm của: a) $y = (2x - 3)^{10}$; b) $y = \sqrt{1 - x^2}$.
a) $y' = 10(2x - 3)^9 \cdot (2x - 3)' = 10(2x - 3)^9 \cdot 2 = 20(2x - 3)^9$.
b) Với $-1 < x < 1$: $y' = \frac{(1 - x^2)'}{2\sqrt{1 - x^2}} = \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$.
4. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
1 Hàm số $y = \sin x$
Ví dụ: $\left[\sin\left(2x + \frac{\pi}{8}\right)\right]' = \left(2x + \frac{\pi}{8}\right)' \cdot \cos\left(2x + \frac{\pi}{8}\right) = 2\cos\left(2x + \frac{\pi}{8}\right)$.
2 Hàm số $y = \cos x$
Ví dụ: $\left[\cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)\right]' = -\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)' \cdot \sin\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = -4\sin\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)$.
3 Hàm số $y = \tan x$
Điều kiện: $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, $u \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
4 Hàm số $y = \cot x$
Điều kiện: $x \ne k\pi$, $u \ne k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Vận dụng 1 (SGK trang 92): Vận tốc của vật dao động điều hoà
Một vật chuyển động có phương trình $s(t) = 4\cos\left(2\pi t - \frac{\pi}{8}\right)$ (m), với $t$ là thời gian tính bằng giây.
Tính vận tốc của vật khi $t = 5\text{ giây}$ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Lời giải:
Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của li độ theo thời gian: $$v(t) = s'(t) = 4 \left[\cos\left(2\pi t - \frac{\pi}{8}\right)\right]' = 4 \cdot \left[-\left(2\pi t - \frac{\pi}{8}\right)' \cdot \sin\left(2\pi t - \frac{\pi}{8}\right)\right] = -8\pi \sin\left(2\pi t - \frac{\pi}{8}\right)\text{ (m/s)}.$$
Khi $t = 5\text{ giây}$: $$v(5) = -8\pi \sin\left(10\pi - \frac{\pi}{8}\right) = -8\pi \sin\left(-\frac{\pi}{8}\right) = 8\pi \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \approx 8 \cdot 3{,}14159 \cdot 0{,}38268 \approx 9{,}6\text{ (m/s)}.$$
5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
5.1 Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và lôgarit (Số vô tỉ $e$)
Định nghĩa số $e$: $\lim_{t \to \pm\infty}\left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e$
5.2 Đạo hàm của hàm số mũ
Giải: Ta có $y' = (x^2 - x)' \cdot 2^{x^2 - x} \cdot \ln 2 = (2x - 1) \cdot 2^{x^2 - x} \ln 2$.
5.3 Đạo hàm của hàm số lôgarit
Chú ý mở rộng: Với mọi $x \ne 0$, ta có: $$(\ln |x|)' = \frac{1}{x}$$ Tổng quát với hàm hợp: $$(\ln |u|)' = \frac{u'}{u} \quad (u \ne 0)$$
Vận dụng 2 (SGK trang 94): Tốc độ thay đổi pH theo nồng độ ion $\text{H}^+$
Độ $\text{pH}$ của một dung dịch được xác định bởi công thức $\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$, trong đó $[\text{H}^+]$ là nồng độ ion hydrogen (mol/lít). Hãy tính tốc độ thay đổi của $\text{pH}$ đối với nồng độ $[\text{H}^+]$.
Đổi sang lôgarit tự nhiên: $\text{pH} = -\frac{\ln[\text{H}^+]}{\ln 10}$.
Tốc độ thay đổi của $\text{pH}$ theo nồng độ $[\text{H}^+]$ chính là đạo hàm: $$(\text{pH})' = \left(-\frac{\ln[\text{H}^+]}{\ln 10}\right)' = -\frac{1}{\ln 10} \cdot \frac{1}{[\text{H}^+]} \approx -\frac{0{,}4343}{[\text{H}^+]}.$$ Ý nghĩa: Đạo hàm luôn âm chứng tỏ khi nồng độ $[\text{H}^+]$ tăng thì độ $\text{pH}$ luôn giảm, tốc độ giảm tỉ lệ nghịch với nồng độ $[\text{H}^+]$.
6. Bảng tổng kết các công thức đạo hàm toàn diện (SGK trang 94)
| Đa thức – Luỹ thừa – Căn thức | Hàm số Lượng giác | Hàm số Mũ – Lôgarit |
|---|---|---|
| Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản (biến $x$) | ||
|
• $(c)' = 0$ ($c$ là hằng số) • $(x)' = 1$ • $(x^n)' = n x^{n-1} \quad (n \in \mathbb{N}^*)$ • $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2} \quad (x \ne 0)$ • $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \quad (x > 0)$ |
• $(\sin x)' = \cos x$ • $(\cos x)' = -\sin x$ • $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ • $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)$ |
• $(e^x)' = e^x$ • $(a^x)' = a^x \ln a \quad (0 < a \ne 1)$ • $(\ln x)' = \frac{1}{x} \quad (x > 0)$ • $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0)$ |
| Đạo hàm của hàm số hợp $u = u(x)$ | ||
|
• $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ • $\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2} \quad (u \ne 0)$ • $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \quad (u > 0)$ |
• $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$ • $(\cos u)' = -u' \cdot \sin u$ • $(\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}$ • $(\cot u)' = -\frac{u'}{\sin^2 u}$ |
• $(e^u)' = u' \cdot e^u$ • $(a^u)' = u' \cdot a^u \ln a$ • $(\ln u)' = \frac{u'}{u} \quad (u > 0)$ • $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a} \quad (u > 0)$ |
Bảng tổng kết đạo hàm chuẩn SGK Kết nối tri thức với cuộc sống (Trang 94)
• Hàm số $y = x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $(x^n)' = n x^{n-1}$.
• Hàm số $y = \sqrt{x}$ có đạo hàm trên khoảng $(0; +\infty)$ và $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Do đó khẳng định A là chính xác.
$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v(x) \ne 0).$$
Vậy đáp án đúng là B.
• $(\sin x)' = \cos x$
• $(\cos x)' = -\sin x$
• $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ (mang dấu dương, do đó khẳng định C mang dấu âm là sai).
• $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)$.
$$f'(x) = (x^2)' - 4(\sqrt{x})' + (3)' = 2x - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x - \frac{2}{\sqrt{x}}.$$
Thay $x = 4$ vào biểu thức đạo hàm:
$$f'(4) = 2(4) - \frac{2}{\sqrt{4}} = 8 - \frac{2}{2} = 8 - 1 = 7.$$
Vậy đáp án đúng là D.
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$$y' = \frac{(2x-1)'(x+2) - (2x-1)(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{2(x+2) - (2x-1)(1)}{(x+2)^2} = \frac{2x + 4 - 2x + 1}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}.$$
Hoặc dùng công thức tính nhanh $\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)' = \frac{ad - bc}{(cx+d)^2} = \frac{2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}$.
Vậy đáp án đúng là A.
$$y' = \frac{(4x+1)'}{(4x+1)\ln 3} = \frac{4}{(4x+1)\ln 3}.$$
Vậy đáp án đúng là B.
Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 4 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!