Bài 26: Khoảng cách
Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Khoảng cách trong không gian (Toán 11 KNTT)
Nắm vững các phương pháp xác định khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa các yếu tố song song; đoạn vuông góc chung và 2 phương pháp kinh điển tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Tình huống thực tiễn mở đầu: Tiêu chuẩn an toàn đầu phun chữa cháy
Khoảng cách là khái niệm quen thuộc và tối quan trọng trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật và đời sống. Chẳng hạn, các đầu phun nước chữa cháy tự động (sprinkler) cần được tính toán lắp đặt chính xác theo tiêu chuẩn kỹ thuật nghiêm ngặt về khoảng cách tới trần nhà, tường phòng và mặt sàn để đảm bảo bao phủ dập tắt hỏa hoạn kịp thời.
Trong bài học này, chúng ta sẽ mở rộng và hoàn thiện các khái niệm khoảng cách trong không gian 3 chiều: từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng, khoảng cách giữa các đường và mặt song song, và đặc biệt là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
HĐ1 (Khám phá khoảng cách ngắn nhất):
a) Cho điểm $M$ và đường thẳng $a$. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $a$. Với mỗi điểm $K$ thuộc $a$, giải thích vì sao $MK \ge MH$ (Hình 7.74).
Giải thích: Nếu $K \equiv H$ thì $MK = MH$. Nếu $K \ne H$ thì tam giác $MHK$ vuông tại $H$, do đó cạnh huyền $MK > MH$. Vậy luôn có $MK \ge MH$.
b) Cho điểm $M$ và mặt phẳng $(P)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $(P)$. Với mỗi điểm $K$ thuộc $(P)$, giải thích vì sao $MK \ge MH$ (Hình 7.75).
Giải thích: Do $MH \perp (P)$ nên $MH \perp HK$. Trong tam giác vuông $MHK$ vuông tại $H$, cạnh huyền $MK \ge MH$ (dấu bằng xảy ra khi $K \equiv H$).
Định nghĩa khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng
- Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $a$, kí hiệu là $d(M, a)$, là khoảng cách giữa $M$ và hình chiếu $H$ của $M$ trên $a$: $$d(M, a) = MH \quad (MH \perp a, H \in a)$$
- Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$, kí hiệu là $d(M, (P))$, là khoảng cách giữa $M$ và hình chiếu $H$ của $M$ trên $(P)$: $$d(M, (P)) = MH \quad (MH \perp (P), H \in (P))$$
- $d(M, a) = 0 \iff M \in a$; $d(M, (P)) = 0 \iff M \in (P)$.
- Khoảng cách từ $M$ đến $a$ (hoặc $(P)$) chính là khoảng cách nhỏ nhất giữa $M$ và một điểm thuộc $a$ (thuộc $(P)$).
- Chiều cao của hình chóp: Khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng chứa mặt đáy của một hình chóp được gọi là chiều cao của hình chóp đó.
Ví dụ 1 (SGK trang 55): Chiều cao hình chóp tam giác đều
Cho hình chóp đều $S.ABC$. Biết độ dài cạnh đáy, cạnh bên tương ứng bằng $a, b$ ($a < b\sqrt{3}$). Tính chiều cao của hình chóp.
Hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là tâm $O$ của tam giác đều $ABC$.
Trong tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, bán kính đường tròn ngoại tiếp là: $$OA = \frac{a}{\sqrt{3}}$$ Trong tam giác vuông $SOA$ vuông tại $O$, ta có: $$SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}}$$ Vậy chiều cao của hình chóp là $SO = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}}$.
Luyện tập 1 (SGK trang 55):
Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A, AB = a, AA' = h$ (Hình 7.77).
a) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCC'B')$.
b) Tam giác $ABC'$ là tam giác gì? Tính khoảng cách từ $A$ đến $BC'$.
a) Kẻ $AH \perp BC$ tại $H$. Vì lăng trụ đứng nên $BB' \perp (ABC) \implies BB' \perp AH$. Do đó $AH \perp (BCC'B')$.
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AH = \frac{BC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Vậy $d(A, (BCC'B')) = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
b) Ta có $AB \perp AC$ và $AB \perp AA' \implies AB \perp (ACC'A') \implies AB \perp AC'$. Do đó tam giác $ABC'$ vuông tại $A$.
Trong tam giác vuông $ACC'$ tại $C$: $AC' = \sqrt{AC^2 + CC'^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$.
Kẻ $AK \perp BC'$ tại $K \implies d(A, BC') = AK$. Trong tam giác vuông $ABC'$ tại $A$: $$\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC'^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^2 + h^2} \implies AK = \frac{a\sqrt{a^2 + h^2}}{\sqrt{2a^2 + h^2}}$$
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
HĐ2: Đường thẳng song song mặt phẳng
Cho $a \parallel (P)$. Lấy $M, N \in a$, gọi $A, B$ là hình chiếu của chúng trên $(P)$ (Hình 7.78).
Vì $MA \perp (P)$ và $NB \perp (P) \implies MA \parallel NB$. Mặt phẳng $(a, AB)$ cắt $(P)$ theo $AB \implies MN \parallel AB$. Tứ giác $ABNM$ có các cạnh đối song song và một góc vuông nên là hình chữ nhật $\implies MA = NB$. Vậy mọi điểm trên $a$ đều có cùng khoảng cách đến $(P)$.
HĐ3: Hai mặt phẳng song song
Cho $(P) \parallel (Q)$. Điểm $M \in (P)$, kẻ $MA \perp (Q)$ tại $A$ (Hình 7.79).
Khi $M$ di chuyển trên $(P)$, khoảng cách $MA$ từ $M$ đến $(Q)$ không đổi. Ngược lại, khoảng cách từ một điểm bất kì trên $(Q)$ đến $(P)$ cũng bằng khoảng cách đó.
Định nghĩa các khoảng cách song song
- Khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ song song với $a$, kí hiệu là $d(a, (P))$, là khoảng cách từ một điểm bất kì trên $a$ đến $(P)$: $$d(a, (P)) = d(M, (P)) \quad (\forall M \in a)$$
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$, kí hiệu là $d((P), (Q))$, là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia: $$d((P), (Q)) = d(M, (Q)) \quad (\forall M \in (P))$$
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $m$ và $n$, kí hiệu $d(m, n)$, là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia: $$d(m, n) = d(M, n) \quad (\forall M \in m)$$
Ví dụ 2 (SGK trang 56):
Cho hình hộp đứng $ABCD.A'B'C'D'$, đáy là các hình thoi có cạnh bằng $a$, $\widehat{BAD} = 120^\circ, AA' = h$. Tính các khoảng cách giữa $A'C'$ và $(ABCD)$, giữa $AA'$ và $(BDD'B')$.
Đường thẳng $A'C' \subset (A'B'C'D')$ nên $A'C' \parallel (ABCD)$.
$d(A'C', (ABCD)) = d(A', (ABCD)) = A'A = h$.
Vì $AA' \parallel BB'$ nên $AA' \parallel (BDD'B')$. Gọi $O = AC \cap BD$.
Ta có $AO \perp BD$ (hai đường chéo hình thoi) và $AO \perp BB'$ (do $BB' \perp (ABCD)$). Suy ra $AO \perp (BDD'B')$.
Vậy $d(AA', (BDD'B')) = d(A, (BDD'B')) = AO$.
Tam giác $ABD$ cân tại $A$ có $\widehat{BAD} = 120^\circ \implies \widehat{ABO} = 30^\circ$.
Trong tam giác vuông $AOB$: $AO = AB \cdot \sin 30^\circ = \frac{a}{2}$.
Vậy khoảng cách giữa $AA'$ và $(BDD'B')$ bằng $\frac{a}{2}$.
Luyện tập 2 (SGK trang 56):
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC), SA = h$. Gọi $M, N, P$ là trung điểm $SA, SB, SC$.
a) Vì $(MNP) \parallel (ABC) \implies d((MNP), (ABC)) = d(M, (ABC)) = MA = \frac{h}{2}$. Do $NP \subset (MNP) \implies d(NP, (ABC)) = \frac{h}{2}$.
b) Nếu $\triangle ABC$ vuông tại $B$ và $AB = a$: Ta có $AB \perp BC$ và $AB \perp SA \implies AB \perp (SBC)$. Do đó $d(A, (SBC)) = AB = a$.
Vận dụng: Khung khống chế chiều cao (H.7.82)
Cột thẳng đứng cao $l = 2{,}28\text{ m}$. Đường dốc lên nghiêng $15^\circ$ so với mặt phẳng nằm ngang.
Khoảng cách từ thanh ngang đến mặt dốc:
$$d = l \cdot \cos 15^\circ = 2{,}28 \cdot \cos 15^\circ \approx 2{,}20\text{ m}$$
Xe có chiều cao $2{,}21\text{ m} > 2{,}20\text{ m}$ nên không được phép đi qua khung này!
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
HĐ4: Đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $b$ và song song với $a$. Hình chiếu $a'$ của $a$ trên $(Q)$ cắt $b$ tại $N$. Gọi $M$ là hình chiếu của $N$ trên $a$ (Hình 7.83).
Khi đó $MN \perp (Q) \implies MN \perp b$. Lại có $MN \perp a$. Đoạn thẳng $MN$ nối hai điểm trên $a, b$ và vuông góc với cả hai đường thẳng đó!
Định nghĩa Đường vuông góc chung & Khoảng cách
- Đường vuông góc chung: Đường thẳng $\Delta$ cắt cả hai đường thẳng chéo nhau $a, b$ và cùng vuông góc với cả hai đường thẳng đó được gọi là đường vuông góc chung của $a$ và $b$.
- Đoạn vuông góc chung & Khoảng cách: Nếu đường vuông góc chung $\Delta$ cắt $a, b$ tương ứng tại $M, N$ thì đoạn thẳng $MN$ được gọi là đoạn vuông góc chung của $a$ và $b$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$, kí hiệu là $d(a, b)$: $$d(a, b) = MN$$
2 Phương pháp thực hành tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại: $$d(a, b) = d(a, (P)) \quad (b \subset (P), a \parallel (P))$$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, tương ứng chứa hai đường thẳng đó: $$d(a, b) = d((P), (Q)) \quad (a \subset (Q), b \subset (P), (P) \parallel (Q))$$
Ví dụ 3 (SGK trang 58):
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC), AB = a, \widehat{ABC} = 60^\circ$. Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa $SA$ và $BC$.
Giải: Kẻ $AH \perp BC$ tại $H$. Do $SA \perp (ABC) \implies SA \perp AH$. Vậy $AH$ là đoạn vuông góc chung của $SA$ và $BC$.
$d(SA, BC) = AH = AB \cdot \sin 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Khám phá quan trọng: Trường hợp $a \perp b$
Cho $a \perp (P)$ tại $O$ và $b \subset (P)$. Hạ $OH \perp b$ tại $H$.
Khi đó $OH \perp a$ (vì $a \perp (P)$) và $OH \perp b$. Do đó $OH$ là đoạn vuông góc chung của $a$ và $b$, suy ra: $$d(a, b) = OH = d(O, b)$$
Luyện tập 3 (SGK trang 58):
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a, SA \perp (ABCD), SA = a\sqrt{2}$.
a) Tính khoảng cách từ $A$ đến $SC$.
b) Chứng minh rằng $BD \perp (SAC)$.
c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa $BD$ và $SC$.
a) Trong tam giác vuông $SAC$ tại $A$: $AC = a\sqrt{2}, SA = a\sqrt{2}$. Kẻ $AK \perp SC$ tại $K$: $$AK = \frac{SA \cdot AC}{\sqrt{SA^2 + AC^2}} = \frac{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2 + 2a^2}} = \frac{2a^2}{2a} = a \implies d(A, SC) = a$$ b) Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BD \perp AC$. Lại có $SA \perp (ABCD) \implies SA \perp BD$. Suy ra $BD \perp (SAC)$.
c) Gọi $O = AC \cap BD$. Trong $(SAC)$, kẻ $OI \perp SC$ tại $I$.
Vì $BD \perp (SAC) \implies BD \perp OI$. Lại có $OI \perp SC$ nên $OI$ là đoạn vuông góc chung của $BD$ và $SC$.
Tam giác $COI$ đồng dạng với tam giác $CSA$ (chung góc $\widehat{C}$, góc vuông): $$OI = \frac{SA \cdot OC}{SC} = \frac{a\sqrt{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}}{2a} = \frac{a}{2} \implies d(BD, SC) = \frac{a}{2}$$
4. Ứng dụng thực tế & Chuyên mục "Em có biết?"
Giá đỡ ba chân chụp ảnh (H.7.90)
Ba chân của giá đỡ có độ dài bằng nhau ($129\text{ cm}$) và ba gốc chân tạo thành tam giác đều cạnh $110\text{ cm}$. Chiều cao của giá đỡ chính là chiều cao hình chóp tam giác đều có đỉnh là điểm gắn máy ảnh và đáy là tam giác đều ba chân tiếp đất.
Hiện tượng "đứng bóng thực sự" (National Geographic)
Hiện tượng "đứng bóng thực sự" là khi tia sáng mặt trời chiếu thẳng góc với mặt đất (tia sáng đi qua tâm Trái Đất $O$ và điểm $P_0$ trên bề mặt).
Vì trục Trái Đất $SN$ nghiêng khoảng $66{,}5^\circ$ so với mặt phẳng quỹ đạo, các vùng có vĩ độ bắc lớn hơn $23{,}5^\circ$ (phía bắc chí tuyến Bắc) và nhỏ hơn $-23{,}5^\circ$ (phía nam chí tuyến Nam) không bao giờ xảy ra hiện tượng đứng bóng thực sự!
Tổng kết công thức khoảng cách cốt lõi Bài 26
- $d(M, a) = MH$ ($MH \perp a$).
- $d(M, (P)) = MH$ ($MH \perp (P)$).
- Khoảng cách là độ dài ngắn nhất.
- $d(a, (P)) = d(M, (P))$ ($\forall M \in a$).
- $d((P), (Q)) = d(M, (Q))$ ($\forall M \in (P)$).
- Chiều cao lăng trụ: khoảng cách giữa 2 đáy.
- $d(a, b) = MN$ (đoạn vuông góc chung).
- $d(a, b) = d(a, (P))$ ($(P) \supset b, (P) \parallel a$).
- $d(a, b) = d((P), (Q))$ ($(P) \parallel (Q)$ chứa $a, b$).
Mặt phẳng $(SAD) \perp (ABCD)$ theo giao tuyến $AD$ mà $SH \subset (SAD), SH \perp AD \implies SH \perp (ABCD)$.
Do đó hình chiếu của đỉnh $S$ trên đáy là điểm $H$, và chiều cao của hình chóp chính là độ dài đoạn thẳng $SH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Do đó khoảng cách giữa đường thẳng $BC$ và mặt phẳng $(SAD)$ bằng khoảng cách từ điểm $B$ đến $(SAD)$:
$$d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD))$$
Ta có $BA \perp AD$ và $BA \perp SH$ (do $SH \perp (ABCD)$) $\implies BA \perp (SAD)$.
Vậy hình chiếu của $B$ trên $(SAD)$ là điểm $A$, suy ra $d(B, (SAD)) = BA = a$.
Vì hai mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và $(A'B'C'D')$ song song với nhau nên khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $AC$ và $B'D'$ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song đó:
$$d(AC, B'D') = d((ABCD), (A'B'C'D')) = AA' = a$$
Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 5 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!