Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập
Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập
Lý thuyết trọng tâm Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập (Toán 11 - Kết nối tri thức). Định lý công thức nhân P(AB) = P(A).P(B), phân nhánh bằng sơ đồ hình cây, phương pháp kiểm tra tính độc lập và phát hiện mối liên hệ giữa các biến cố trong thực tế.
- Thuật ngữ: Hai biến cố độc lập, Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.
- Kiến thức, kĩ năng: Tính xác suất của biến cố giao của hai biến cố độc lập bằng cách sử dụng công thức nhân xác suất và sơ đồ hình cây; Vận dụng kiểm tra tính độc lập và phát hiện mối liên quan giữa hai biến cố trong thực tiễn.
Tình huống mở đầu: Vòng chung kết Đại hội thể thao
Tại vòng chung kết của một đại hội thể thao, vận động viên An thi đấu môn Bắn súng, vận động viên Bình thi đấu môn Bơi lội.
Biết rằng xác suất giành huy chương của vận động viên An và vận động viên Bình tương ứng là $0{,}8$ và $0{,}9$.
Câu hỏi đặt ra: Xác suất để cả hai vận động viên đều đạt huy chương là bao nhiêu?
Bài học này sẽ giúp chúng ta trả lời câu hỏi trên thông qua việc tìm hiểu Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.
1. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập
Hoạt động 1: Thử nghiệm rút bóng từ hai hộp độc lập
Có hai hộp đựng các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng:
- Hộp I: có 6 quả màu trắng và 4 quả màu đen (tổng cộng 10 quả).
- Hộp II: có 1 quả màu trắng và 7 quả màu đen (tổng cộng 8 quả).
Bạn Long lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I, bạn Hải lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Xét các biến cố:
$A$: "Bạn Long lấy được quả bóng màu trắng"; $B$: "Bạn Hải lấy được quả bóng màu đen".
a) Tính $P(A)$, $P(B)$ và $P(AB)$.
b) So sánh $P(AB)$ và $P(A) \cdot P(B)$.
Lời giải Hoạt động 1:
• Số phần tử không gian mẫu khi lấy mỗi hộp 1 quả là: $n(\Omega) = 10 \times 8 = 80$.
• Bạn Long lấy 1 bóng trắng từ hộp I (6 cách), bạn Hải lấy bóng bất kì từ hộp II (8 cách):
$\implies n(A) = 6 \times 8 = 48 \implies P(A) = \dfrac{48}{80} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$.
• Bạn Hải lấy 1 bóng đen từ hộp II (7 cách), bạn Long lấy bóng bất kì từ hộp I (10 cách):
$\implies n(B) = 10 \times 7 = 70 \implies P(B) = \dfrac{70}{80} = \dfrac{7}{8} = 0{,}875$.
• Biến cố giao $AB$ là "Long lấy được bóng trắng VÀ Hải lấy được bóng đen":
$\implies n(AB) = 6 \times 7 = 42 \implies P(AB) = \dfrac{42}{80} = \dfrac{21}{40} = 0{,}525$.
• So sánh: $P(A) \cdot P(B) = \dfrac{6}{10} \times \dfrac{7}{8} = \dfrac{42}{80} = P(AB)$.
CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT CHO HAI BIẾN CỐ ĐỘC LẬP
Nếu hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau thì xác suất của biến cố giao bằng tích các xác suất của từng biến cố.
Câu hỏi củng cố:
Hai biến cố $A$ và $B$ trong HĐ1 độc lập hay không? Tại sao?
Trả lời: $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, vì việc bạn Long lấy bóng từ hộp I hoàn toàn không ảnh hưởng gì tới khả năng lấy bóng của bạn Hải từ hộp II.
Chú ý nhận diện tính độc lập:
Với hai biến cố $A$ và $B$, nếu $$P(AB) \ne P(A) \cdot P(B)$$ thì hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập (tức là chúng có liên quan với nhau).
Ví dụ 1 (SGK trang 77): Giải quyết bài toán Đại hội thể thao & Sơ đồ hình cây
Trở lại tình huống mở đầu. Gọi $A$ là biến cố "Vận động viên An đạt huy chương", $B$ là biến cố "Vận động viên Bình đạt huy chương".
a) Giải thích tại sao hai biến cố $A$ và $B$ là độc lập.
b) Tính xác suất để cả hai vận động viên đều đạt huy chương.
c) Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất để:
- Cả hai vận động viên không đạt huy chương;
- Vận động viên An đạt huy chương, vận động viên Bình không đạt huy chương;
- Vận động viên An không đạt huy chương, vận động viên Bình đạt huy chương.
Lời giải chi tiết:
a) Vì hai vận động viên An và Bình thi đấu ở hai môn thể thao hoàn toàn khác nhau (Bắn súng và Bơi lội) nên kết quả thi đấu của người này không ảnh hưởng đến kết quả thi đấu của người kia. Do đó, hai biến cố $A$ và $B$ là độc lập.
b) Biến cố "Cả hai vận động viên đạt huy chương" là biến cố giao $AB$. Theo công thức nhân xác suất:
$$P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}8 \cdot 0{,}9 = 0{,}72.$$
c) Ta có $P(\overline{A}) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$ và $P(\overline{B}) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$.
Sử dụng sơ đồ hình cây phân nhánh hai giai đoạn:
- Cả hai đều không đạt huy chương (biến cố $\overline{A}\,\overline{B}$):
$$P(\overline{A}\,\overline{B}) = 0{,}2 \cdot 0{,}1 = 0{,}02.$$ - An đạt, Bình không đạt (biến cố $A\overline{B}$):
$$P(A\overline{B}) = 0{,}8 \cdot 0{,}1 = 0{,}08.$$ - An không đạt, Bình đạt (biến cố $\overline{A}B$):
$$P(\overline{A}B) = 0{,}2 \cdot 0{,}9 = 0{,}18.$$
Sơ đồ hình cây xác suất hai biến cố độc lập
Luyện tập 1 (SGK trang 77): Thí nghiệm hạt giống nảy mầm
Các học sinh lớp 11D làm thí nghiệm gieo hai loại hạt giống A và B. Xác suất để hai loại hạt giống A và B nảy mầm tương ứng là $0{,}92$ và $0{,}88$. Giả sử việc nảy mầm của hạt A và hạt B là độc lập với nhau. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để:
- a) Hạt giống A nảy mầm còn hạt giống B không nảy mầm;
- b) Hạt giống A không nảy mầm còn hạt giống B nảy mầm;
- c) Ít nhất có một trong hai loại hạt giống nảy mầm.
Lời giải:
Gọi $A$ là biến cố "Hạt giống A nảy mầm", $B$ là biến cố "Hạt giống B nảy mầm".
Ta có: $P(A) = 0{,}92 \implies P(\overline{A}) = 1 - 0{,}92 = 0{,}08$.
$P(B) = 0{,}88 \implies P(\overline{B}) = 1 - 0{,}88 = 0{,}12$.
Vì $A$ và $B$ độc lập nên các cặp biến cố đối cũng độc lập với nhau:
a) Xác suất hạt giống A nảy mầm còn hạt giống B không nảy mầm:
$$P(A\overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}92 \cdot 0{,}12 = 0{,}1104.$$
b) Xác suất hạt giống A không nảy mầm còn hạt giống B nảy mầm:
$$P(\overline{A}B) = P(\overline{A}) \cdot P(B) = 0{,}08 \cdot 0{,}88 = 0{,}0704.$$
c) Biến cố đối của biến cố "Ít nhất có một trong hai loại hạt giống nảy mầm" là biến cố "Cả hai loại hạt giống đều không nảy mầm" ($\overline{A}\,\overline{B}$).
Ta có: $P(\overline{A}\,\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}08 \cdot 0{,}12 = 0{,}0096$.
Do đó xác suất ít nhất một loại hạt giống nảy mầm là:
$$P = 1 - P(\overline{A}\,\overline{B}) = 1 - 0{,}0096 = 0{,}9904.$$
2. Vận dụng: Phát hiện mối liên quan giữa hai biến cố
Ý nghĩa thực tiễn của công thức nhân xác suất
Trong nghiên cứu khoa học, y tế và xã hội học, việc kiểm tra điều kiện $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$ là công cụ toán học nền tảng để xác định hai yếu tố có độc lập với nhau hay có mối liên hệ mật thiết với nhau (như hút thuốc và ung thư phổi, thắt dây an toàn và nguy cơ tử vong khi tai nạn, v.v.).
Ví dụ 2 (SGK trang 77): An toàn giao thông và thắt dây an toàn
Số liệu thống kê tại một vùng cho thấy trong các vụ tai nạn ô tô có $0{,}37\%$ người tử vong; $29\%$ người không thắt dây an toàn và $0{,}28\%$ người không thắt dây an toàn và tử vong. Chứng tỏ rằng việc không thắt dây an toàn khi lái xe và nguy cơ tử vong khi gặp tai nạn có liên quan với nhau.
Lời giải:
Chọn ngẫu nhiên một người đã bị tai nạn ô tô.
Gọi $A$ là biến cố "Người đó đã tử vong"; $B$ là biến cố "Người đó không thắt dây an toàn".
Khi đó, $AB$ là biến cố "Người đó không thắt dây an toàn và đã tử vong".
Theo số liệu thống kê đề bài cung cấp:
• $P(A) = 0{,}37\% = 0{,}0037$;
• $P(B) = 29\% = 0{,}29$;
• $P(AB) = 0{,}28\% = 0{,}0028$.
Ta có: $$P(A) \cdot P(B) = 0{,}0037 \cdot 0{,}29 = 0{,}001073.$$
Vì $P(AB) = 0{,}0028 \ne P(A) \cdot P(B) = 0{,}001073$ nên hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập.
Luyện tập 2 (SGK trang 78): Mối liên quan giữa hút thuốc lá và bệnh viêm phổi
Để nghiên cứu mối liên quan giữa thói quen hút thuốc lá với bệnh viêm phổi, nhà nghiên cứu chọn một nhóm $5\,000$ người đàn ông. Với mỗi người trong nhóm, nhà nghiên cứu kiểm tra xem họ có nghiện thuốc lá và có bị viêm phổi hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:
| Tình trạng hút thuốc | Viêm phổi | Không viêm phổi | Tổng cộng |
|---|---|---|---|
| Nghiện thuốc lá | $752$ người | $1\,236$ người | $1\,988$ người |
| Không nghiện thuốc lá | $575$ người | $2\,437$ người | $3\,012$ người |
| Tổng cộng | $1\,327$ người | $3\,673$ người | $5\,000$ người |
Từ bảng thống kê trên, hãy chứng tỏ rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau.
Lời giải chi tiết:
Chọn ngẫu nhiên một người đàn ông trong nhóm $5\,000$ người khảo sát.
Gọi $A$ là biến cố "Người đó nghiện thuốc lá", $B$ là biến cố "Người đó bị viêm phổi".
Khi đó $AB$ là biến cố "Người đó nghiện thuốc lá và bị viêm phổi".
Từ bảng số liệu thống kê ta tính được:
• Xác suất người được chọn nghiện thuốc lá: $P(A) = \dfrac{1\,988}{5\,000} = 0{,}3976$.
• Xác suất người được chọn bị viêm phổi: $P(B) = \dfrac{1\,327}{5\,000} = 0{,}2654$.
• Tích hai xác suất là: $$P(A) \cdot P(B) = 0{,}3976 \times 0{,}2654 \approx 0{,}1055.$$
• Xác suất người được chọn vừa nghiện thuốc lá vừa bị viêm phổi là:
$$P(AB) = \dfrac{752}{5\,000} = 0{,}1504.$$
Vì $P(AB) = 0{,}1504 \ne P(A) \cdot P(B) \approx 0{,}1055$ nên hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập.
Tóm tắt trọng tâm Bài 30
Công thức nhân:
Nếu $A, B$ độc lập $\iff P(AB) = P(A) \cdot P(B)$.
Nếu $P(AB) \ne P(A)P(B) \iff A, B$ không độc lập (có liên quan).
Sơ đồ hình cây:
Xác suất của mỗi nhánh tận cùng (biến cố giao) bằng tích các xác suất trên các đoạn đường đi từ gốc đến ngọn nhánh đó.
Cho hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau. Công thức nào sau đây là đúng?
Theo định lý công thức nhân xác suất trong SGK Toán 11 (KNTT): Nếu hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau thì $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$.
Cho hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc với nhau và $P(A) > 0$, $P(B) > 0$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Vì $A$ và $B$ xung khắc nên $AB = A \cap B = \emptyset \implies P(AB) = 0$.
Mặt khác, $P(A) > 0$ và $P(B) > 0$ nên $P(A) \cdot P(B) > 0$.
Do đó $P(AB) \ne P(A) \cdot P(B)$, suy ra hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập (Bài 8.11 SGK trang 78).
Nếu hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau thì cặp biến cố nào sau đây cũng độc lập với nhau?
Theo tính chất của biến cố độc lập: Nếu $A$ và $B$ độc lập thì các cặp biến cố $A$ và $\overline{B}$, $\overline{A}$ và $B$, $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng đều độc lập với nhau.
Hai xạ thủ An và Bình độc lập với nhau cùng bắn vào một tấm bia. Xác suất bắn trúng bia của An là $0{,}8$ và của Bình là $0{,}9$. Xác suất để cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia là:
Gọi $A$ là biến cố: "An bắn trúng bia" $\implies P(A) = 0{,}8$.
Gọi $B$ là biến cố: "Bình bắn trúng bia" $\implies P(B) = 0{,}9$.
Vì hai xạ thủ bắn độc lập nhau nên biến cố cả hai cùng bắn trúng là $AB$.
Áp dụng công thức nhân xác suất:
$$P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}8 \times 0{,}9 = 0{,}72.$$Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Xác suất để hai viên bi lấy ra đều có màu xanh là:
Số bi ở túi I là $3 + 7 = 10$ viên; số bi ở túi II là $10 + 6 = 16$ viên.
Gọi $A$ là biến cố "Lấy được bi xanh từ túi I" $\implies P(A) = \dfrac{3}{10}$.
Gọi $B$ là biến cố "Lấy được bi xanh từ túi II" $\implies P(B) = \dfrac{10}{16} = \dfrac{5}{8}$.
Vì việc lấy bi ở mỗi túi là độc lập nhau nên xác suất cả hai viên bi đều màu xanh là:
$$P(AB) = P(A) \cdot P(B) = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{10}{16} = \dfrac{3}{16}.$$Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi lấy ngẫu nhiên một viên bi. Xác suất để hai viên bi lấy ra có cùng màu là:
Biến cố hai viên bi cùng màu xảy ra khi cùng màu xanh HOẶC cùng màu đỏ (hai trường hợp xung khắc nhau):
- Xác suất cùng màu xanh: $P(\text{xanh}) = \dfrac{3}{10} \times \dfrac{10}{16} = \dfrac{30}{160} = \dfrac{3}{16}$.
- Xác suất cùng màu đỏ: $P(\text{đỏ}) = \dfrac{7}{10} \times \dfrac{6}{16} = \dfrac{42}{160} = \dfrac{21}{80}$.
Theo công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc:
$$P = P(\text{xanh}) + P(\text{đỏ}) = \dfrac{3}{16} + \dfrac{21}{80} = \dfrac{15 + 21}{80} = \dfrac{36}{80} = \dfrac{9}{20} = 0{,}45.$$Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 4 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Có hai túi, mỗi túi đựng 10 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 10. Từ mỗi túi lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc số 5.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Một thùng đựng 60 tấm thẻ cùng loại đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Xét các biến cố: $A$: "Số ghi trên thẻ là ước của 60" và $B$: "Số ghi trên thẻ là ước của 48". Giá trị của $P(AB)$ và tính độc lập của $A$ và $B$ là:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Trong kì thi cuối kì II môn Toán lớp 11, thống kê cho thấy có $93\%$ học sinh tỉnh X đạt yêu cầu và $87\%$ học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh tỉnh X và một học sinh tỉnh Y (kết quả học tập hai tỉnh độc lập). Xác suất để chỉ có đúng một học sinh đạt yêu cầu là:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Một máy bay thương mại có hai động cơ hoạt động hoàn toàn độc lập với nhau. Trong một chuyến bay, xác suất xảy ra sự cố kỹ thuật ở động cơ 1 là $0{,}01$ và ở động cơ 2 là $0{,}02$. Máy bay thực hiện chuyến bay an toàn nếu có ít nhất một động cơ hoạt động bình thường. Tính xác suất để chuyến bay diễn ra an toàn.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!