Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập
Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập
Lý thuyết trọng tâm Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập (Toán 11 - Kết nối tri thức). Định nghĩa biến cố hợp A ∪ B, biến cố giao AB, biến cố độc lập, phân biệt phép thử có hoàn lại và không hoàn lại cùng các dạng bài tập thực tế phong phú.
Chương VIII: Các quy tắc tính xác suất
Nếu biết xác suất xảy ra của biến cố $A$, xác suất xảy ra của biến cố $B$, làm thế nào để tính xác suất xảy ra biến cố "$A$ hoặc $B$", xác suất xảy ra biến cố "$A$ và $B$"?
Tình huống thực tế (Khảo sát mức sống):
Chọn ngẫu nhiên một gia đình ở Hà Nội. Xét các biến cố:
- $M$: "Gia đình đó có ti vi"; $N$: "Gia đình đó có máy vi tính";
- $E$: "Gia đình đó có ti vi hoặc máy vi tính";
- $F$: "Gia đình đó có cả ti vi và máy vi tính";
- $G$: "Gia đình đó chỉ có ti vi hoặc chỉ có máy vi tính mà không đồng thời có cả hai thiết bị";
- $H$: "Gia đình đó không có cả ti vi và máy vi tính".
Các biến cố trên có mối liên hệ mật thiết với nhau. Bài học này sẽ giúp chúng ta mô tả các mối liên hệ đó một cách cô đọng bằng các khái niệm và kí hiệu toán học!
1. Biến cố hợp
Hoạt động 1: Điểm kiểm tra học kì I của 10 học sinh
| Tên học sinh | Điểm Toán | Điểm Ngữ văn |
|---|---|---|
| Bảo | 7 | 6 |
| Dung | 5 | 9 (Giỏi Văn) |
| Định | 5 | 6 |
| Lan | 8 (Giỏi Toán) | 7 |
| Long | 6 | 8 (Giỏi Văn) |
| Hương | 9 (Giỏi Toán) | 7 |
| Phúc | 8 (Giỏi Toán) | 6 |
| Cường | 8 (Giỏi Toán) | 9 (Giỏi Văn) |
| Tuấn | 4 | 5 |
| Trang | 10 (Giỏi Toán) | 8 (Giỏi Văn) |
Quy ước: Điểm từ 8 trở lên là điểm giỏi.
Chọn ngẫu nhiên một bạn. Xét các biến cố:
- $A$: "Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn" $\implies A = \{\text{Dung, Long, Cường, Trang}\}$.
- $B$: "Học sinh đó được điểm giỏi môn Toán" $\implies B = \{\text{Lan, Hương, Phúc, Cường, Trang}\}$.
- $C$: "Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn hoặc môn Toán" $\implies C = \{\text{Dung, Lan, Long, Hương, Phúc, Cường, Trang}\}$.
Ta thấy biến cố $C$ xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố $A, B$ xảy ra: $C = A \cup B$.
Định nghĩa biến cố hợp
Cho $A$ và $B$ là hai biến cố. Biến cố: "$A$ hoặc $B$ xảy ra" được gọi là biến cố hợp của $A$ và $B$, kí hiệu là $$A \cup B.$$
Biến cố hợp của $A$ và $B$ chính là tập con $A \cup B$ của không gian mẫu $\Omega$.
Ví dụ 1 (SGK trang 67): Rút thẻ số
Một hộp đựng $15$ tấm thẻ đánh số từ $1$ đến $15$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Gọi $E$ là biến cố "Số ghi trên thẻ là số lẻ", $F$ là biến cố "Số ghi trên thẻ là số nguyên tố".
• Không gian mẫu: $\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15\}$.
• Tập hợp biến cố: $E = \{1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15\}$ và $F = \{2; 3; 5; 7; 11; 13\}$.
• Biến cố hợp $G = E \cup F$ là biến cố "Số ghi trên tấm thẻ là số lẻ hoặc số nguyên tố":
$$G = E \cup F = \{1; 2; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15\}.$$
Luyện tập 1 (SGK trang 68): Chọn học sinh kiểm tra bài
Một tổ trong lớp 11B có $4$ học sinh nữ là Hương, Hồng, Dung, Phương và $5$ học sinh nam là Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến, Hải. Chọn ngẫu nhiên một bạn lên bảng kiểm tra bài cũ. Xét biến cố $H$: "Học sinh đó là một bạn nữ", $K$: "Học sinh đó có tên bắt đầu là chữ cái H".
• Không gian mẫu gồm 9 bạn học sinh trong tổ.
• Biến cố hợp $M = H \cup K$ là biến cố: "Học sinh được chọn là một bạn nữ hoặc có tên bắt đầu bằng chữ cái H".
• Ta có: $H = \{\text{Hương, Hồng, Dung, Phương}\}$ và $K = \{\text{Hương, Hồng, Hoàng, Hải}\}$.
$\implies M = H \cup K = \{\text{Hương, Hồng, Dung, Phương, Hoàng, Hải}\}$.
2. Biến cố giao
Hoạt động 2: Giỏi cả hai môn
Trở lại tình huống trong HĐ1. Xét biến cố $D$: "Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn và điểm giỏi môn Toán".
• Nhìn vào bảng điểm, chỉ có 2 bạn đạt cả hai môn là Cường và Trang. Vậy: $$D = \{\text{Cường, Trang}\} = A \cap B.$$
Định nghĩa biến cố giao
Cho $A$ và $B$ là hai biến cố. Biến cố: "Cả $A$ và $B$ đều xảy ra" được gọi là biến cố giao của $A$ và $B$, kí hiệu là $$AB \quad \text{hoặc} \quad A \cap B.$$
Biến cố giao của $A$ và $B$ chính là tập con $A \cap B$ của không gian mẫu $\Omega$.
Ví dụ 2 (SGK trang 68): Khảo sát thể thao
Một tổ gồm 9 học sinh: Bảo, Đăng, Giang, Hoa, Long, Mai, Phúc, Tuấn, Yến. Kết quả phỏng vấn: bạn biết chơi Cầu lông ($U$) hoặc Bóng bàn ($V$).
| Tên học sinh | Cầu lông ($U$) | Bóng bàn ($V$) | Kết luận |
|---|---|---|---|
| Bảo | X | Chỉ cầu lông | |
| Đăng | X | Chỉ cầu lông | |
| Giang | X | Chỉ bóng bàn | |
| Hoa | Không chơi | ||
| Long | X | X | Chơi cả hai |
| Mai | Không chơi | ||
| Phúc | X | X | Chơi cả hai |
| Tuấn | X | X | Chơi cả hai |
| Yến | X | Chỉ cầu lông |
• $U = \{\text{Bảo, Đăng, Long, Phúc, Tuấn, Yến}\}$ và $V = \{\text{Giang, Long, Phúc, Tuấn}\}$.
• Biến cố giao $T = UV$ là biến cố: "Học sinh được chọn biết chơi cả cầu lông và bóng bàn":
$$T = U \cap V = \{\text{Long, Phúc, Tuấn}\}.$$
Luyện tập 2 (SGK trang 69): Thẻ chia hết cho 4 và 6
Một hộp đựng $25$ tấm thẻ đánh số từ $1$ đến $25$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Xét $P$: "Số chia hết cho 4", $Q$: "Số chia hết cho 6". Tìm nội dung và tập hợp của biến cố giao $S = PQ$.
• $S = PQ$ là biến cố: "Số ghi trên tấm thẻ chia hết cho cả 4 và 6" (tức chia hết cho $\text{BCNN}(4, 6) = 12$).
• Các số từ $1$ đến $25$ chia hết cho $12$ là: $$S = P \cap Q = \{12; 24\}.$$
Vận dụng: Giải quyết tình huống khảo sát mức sống mở đầu
Cho $M$: "Gia đình có ti vi", $N$: "Gia đình có máy vi tính". Khi đó:
- $E$: "Có ti vi hoặc máy tính" $\implies E = M \cup N$.
- $F$: "Có cả ti vi và máy tính" $\implies F = M \cap N = MN$.
- $G$: "Chỉ có 1 trong 2 thiết bị" $\implies G = (M \cap \overline{N}) \cup (\overline{M} \cap N) = M\overline{N} \cup \overline{M}N$.
- $H$: "Không có cả hai thiết bị" $\implies H = \overline{M} \cap \overline{N} = \overline{M}\,\overline{N} = \overline{M \cup N}$.
3. Biến cố độc lập
Hoạt động 3: Gieo xúc xắc
Minh và Sơn mỗi người gieo đồng thời một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét biến cố $A$: "Minh gieo được số chẵn", $B$: "Sơn gieo được số chia hết cho 3".
Vì Minh và Sơn gieo hai con xúc xắc riêng biệt, kết quả của con xúc xắc này hoàn toàn không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của con xúc xắc kia. Khi đó ta nói hai biến cố $A$ và $B$ là độc lập.
Định nghĩa biến cố độc lập
Cặp biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
Ví dụ 3 (SGK trang 70): Phân biệt phép thử "Có hoàn lại" và "Không hoàn lại"
Một hộp đựng $4$ viên bi màu đỏ và $5$ viên bi màu xanh (tổng cộng 9 viên bi cùng kích thước).
a) Lấy bi có hoàn lại (Độc lập)
• Minh lấy 1 viên bi, ghi màu rồi trả lại vào hộp. Sau đó Hùng lấy 1 viên bi.
• $A$: "Minh lấy được bi đỏ", $B$: "Hùng lấy được bi xanh".
• Do Minh trả bi lại hộp nên lúc Hùng lấy hộp vẫn có đủ 4 đỏ, 5 xanh: $$P(B) = \frac{5}{9}$$ bất kể Minh lấy được bi màu gì. Vậy $A$ và $B$ độc lập.
b) Lấy bi không hoàn lại (Không độc lập)
• Sơn lấy 1 viên bi và không trả lại vào hộp. Sau đó Tùng lấy 1 viên bi.
• $C$: "Sơn lấy được bi đỏ", $D$: "Tùng lấy được bi xanh".
• Nếu $C$ xảy ra (Sơn lấy bi đỏ), hộp còn 8 viên (3 đỏ, 5 xanh) $\implies P(D) = \frac{5}{8}$.
• Nếu $C$ không xảy ra (Sơn lấy bi xanh), hộp còn 8 viên (4 đỏ, 4 xanh) $\implies P(D) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
$\implies$ Xác suất của $D$ bị thay đổi! Vậy $C$ và $D$ không độc lập.
Luyện tập 3 (SGK trang 70): Gieo xúc xắc
Minh và Sơn mỗi người gieo một xúc xắc cân đối. $E$: "Minh gieo được số nguyên tố", $B$: "Sơn gieo được số chia hết cho 3".
Trả lời: Hai biến cố $E$ và $B$ độc lập vì phép thử của Minh và Sơn độc lập nhau, kết quả xúc xắc của Minh không làm thay đổi xác suất gieo xúc xắc của Sơn ($P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$).
• $B = \{2; 3; 5; 7; 11; 13\}$ (các số nguyên tố từ 1 đến 15, lưu ý số 1 không phải là số nguyên tố).
• Biến cố giao $AB = A \cap B = \{2; 3; 5\}$.
• $A = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ có 6 phần tử.
• $B = \{2; 3; 5; 7; 11; 13\}$ có 6 phần tử.
• Giao $A \cap B = \{2; 3; 5\}$ có 3 phần tử.
Hợp của hai biến cố:
$$A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 11; 13\}.$$
Do đó số phần tử của $A \cup B$ là $n(A \cup B) = 6 + 6 - 3 = 9$ phần tử.
Khẳng định "$A$ và $B$ luôn là hai biến cố xung khắc" là sai vì tính độc lập và xung khắc là hai khái niệm hoàn toàn khác nhau (hai biến cố xung khắc có xác suất dương thì không thể độc lập).
Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 5 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
$E$: "Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đều là số chẵn";
$F$: "Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc khác tính chẵn lẻ";
$K$: "Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn".
Mệnh đề nào sau đây biểu diễn đúng mối quan hệ giữa $K$ với $E$ và $F$?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
$A$: "Bắt được con thỏ trắng từ chuồng I";
$B$: "Bắt được con thỏ đen từ chuồng II".
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
$E$: "Bắt được con gà trống từ chuồng I";
$F$: "Bắt được con gà mái từ chuồng II".
Khẳng định nào sau đây giải thích chính xác về mối quan hệ giữa $E$ và $F$?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!