Bài 7: Cấp số nhân (Toán Lớp 11)

Chương II: Dãy số. Cấp số cộng và Cấp số nhân TOÁN 11 KNTT

Bài 7: Cấp số nhân

Toàn bộ định nghĩa cấp số nhân, công bội, công thức số hạng tổng quát, tính tổng $n$ số hạng đầu cùng các bài toán thực tiễn về tiền lương, vi khuẩn, khấu hao tài sản và nồng độ thuốc.

THUẬT NGỮ

Cấp số nhân
Công bội $q$
Số hạng tổng quát $u_n$
Tổng của $n$ số hạng đầu $S_n$

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

Nhận biết một dãy số là cấp số nhân.
Giải thích và vận dụng công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân.
Tính tổng của $n$ số hạng đầu của cấp số nhân.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số nhân.

TÌNH HUỐNG MỞ ĐẦU

Bài toán mức lương chuyên gia công nghệ thông tin

Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là $240$ triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm $5\%$ lương mỗi năm so với năm liền trước đó.

Hỏi tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty $10$ năm là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)?

(Bài toán thực tiễn hấp dẫn này sẽ được giải trọn vẹn ở Ví dụ 5 sau khi ta xây dựng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân).

1 Định nghĩa

HĐ1 Nhận biết cấp số nhân

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3 \cdot 2^n$.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này.
b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa $u_n$ và $u_{n-1}$.

Xem lời giải HĐ1

a) Năm số hạng đầu của dãy số là:
• $u_1 = 3 \cdot 2^1 = 6$
• $u_2 = 3 \cdot 2^2 = 12$
• $u_3 = 3 \cdot 2^3 = 24$
• $u_4 = 3 \cdot 2^4 = 48$
• $u_5 = 3 \cdot 2^5 = 96$

b) Xét tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp:
$$\frac{u_2}{u_1} = \frac{12}{6} = 2, \quad \frac{u_3}{u_2} = \frac{24}{12} = 2, \quad \frac{u_4}{u_3} = \frac{48}{24} = 2, \quad \frac{u_5}{u_4} = \frac{96}{48} = 2$$ Tổng quát với mọi $n \ge 2$: $$\frac{u_n}{u_{n-1}} = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = 2 \implies u_n = 2u_{n-1}$$

Định nghĩa Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi $q$.
Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.
Cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q$ được cho bởi hệ thức truy hồi:
$$u_n = u_{n-1} \cdot q \quad \text{với } n \ge 2$$

Câu hỏi thảo luận (?): Dãy số không đổi $a, a, a, \ldots$ có phải là một cấp số nhân không?
Trả lời: Có. Dãy số không đổi $a, a, a, \ldots$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = a$ và công bội $q = 1$.
(Đặc biệt nếu $a = 0$ thì dãy số $0, 0, 0, \ldots$ là cấp số nhân với công bội $q$ là một số thực tùy ý).

Ví dụ 1 Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân

Cho cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = 5$ và công bội $q = -2$. Hãy viết năm số hạng đầu của cấp số nhân này.

Xem lời giải

Năm số hạng đầu của cấp số nhân là:
• $u_1 = 5$
• $u_2 = u_1 \cdot q = 5 \cdot (-2) = -10$
• $u_3 = u_2 \cdot q = (-10) \cdot (-2) = 20$
• $u_4 = u_3 \cdot q = 20 \cdot (-2) = -40$
• $u_5 = u_4 \cdot q = (-40) \cdot (-2) = 80$

Ví dụ 2 Chứng minh một dãy số là cấp số nhân

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{1}{3^{n-1}}$. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

Xem lời giải

Với mọi $n \ge 2$, ta xét tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp: $$\frac{u_n}{u_{n-1}} = \frac{\frac{1}{3^{n-1}}}{\frac{1}{3^{n-2}}} = \frac{3^{n-2}}{3^{n-1}} = \frac{1}{3}$$ tức là $u_n = \frac{1}{3} u_{n-1}$ với mọi $n \ge 2$.
Vậy $(u_n)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1 = \frac{1}{3^0} = 1$ và công bội $q = \frac{1}{3}$.

Luyện tập 1 Chứng minh dãy số là cấp số nhân

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2 \cdot 5^n$. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

Xem lời giải Luyện tập 1

Với mọi $n \ge 2$, ta xét tỉ số: $$\frac{u_n}{u_{n-1}} = \frac{2 \cdot 5^n}{2 \cdot 5^{n-1}} = 5 \quad \text{(không đổi với mọi } n \ge 2\text{)}$$ Suy ra $u_n = 5 u_{n-1}$ với mọi $n \ge 2$. Do đó $(u_n)$ là một cấp số nhân.
• Số hạng đầu: $u_1 = 2 \cdot 5^1 = 10$.
• Công bội: $q = 5$.

2 Số hạng tổng quát

HĐ2 Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$.
a) Tính các số hạng $u_2, u_3, u_4, u_5$ theo $u_1$ và $q$.
b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ $n$ theo $u_1$ và $q$.

Xem lời giải HĐ2

a) Theo định nghĩa cấp số nhân:
• $u_2 = u_1 \cdot q$
• $u_3 = u_2 \cdot q = (u_1 \cdot q) \cdot q = u_1 \cdot q^2$
• $u_4 = u_3 \cdot q = (u_1 \cdot q^2) \cdot q = u_1 \cdot q^3$
• $u_5 = u_4 \cdot q = (u_1 \cdot q^3) \cdot q = u_1 \cdot q^4$

b) Quan sát quy luật số mũ của $q$ luôn nhỏ hơn chỉ số của $u$ một đơn vị, ta dự đoán:
$$u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \quad (n \ge 2)$$

Định lí: Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu một cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát $u_n$ của nó được xác định bởi công thức:

$$u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \quad (n \ge 2)$$

Ví dụ 3 Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100

Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ $100$ của cấp số nhân: $8, -4, 2, \ldots$

Xem lời giải

Cấp số nhân này có số hạng đầu $u_1 = 8$ và công bội $q = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$.
Do đó năm số hạng đầu là: $8, -4, 2, -1, \frac{1}{2}$.
Số hạng thứ $100$ là: $$u_{100} = u_1 \cdot q^{99} = 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{99} = 2^3 \cdot \frac{-1}{2^{99}} = -\frac{1}{2^{96}}$$

Ví dụ 4 Tìm số hạng khi biết hai số hạng bất kì

Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứ $10$ bằng $1\,536$ và số hạng thứ $12$ bằng $6\,144$. Tìm số hạng thứ $20$ của cấp số nhân đó.

Xem lời giải

Giả sử $u_1$ là số hạng đầu và $q$ là công bội ($u_1 > 0, q > 0$). Ta có hệ: $$\begin{cases} u_{10} = u_1 \cdot q^9 = 1\,536 \\ u_{12} = u_1 \cdot q^{11} = 6\,144 \end{cases}$$ Chia vế theo vế hai đẳng thức: $$\frac{u_{12}}{u_{10}} = \frac{u_1 \cdot q^{11}}{u_1 \cdot q^9} = q^2 = \frac{6\,144}{1\,536} = 4 \implies q = 2 \quad (\text{do } q > 0)$$ Với $q = 2$, ta tính được: $u_1 = \frac{1\,536}{2^9} = \frac{1\,536}{512} = 3$.
Vậy số hạng thứ $20$ của cấp số nhân là: $$u_{20} = u_1 \cdot q^{19} = 3 \cdot 2^{19} = 3 \cdot 524\,288 = 1\,572\,864$$

Luyện tập 2 Bài toán nuôi cấy số lượng vi khuẩn

Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có $5\,000$ con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm $8\%$ mỗi giờ. Hỏi sau $5$ giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?

Xem lời giải Luyện tập 2

Gọi số lượng vi khuẩn ban đầu là $u_0 = 5\,000$.
Sau mỗi giờ, số lượng vi khuẩn tăng thêm $8\%$, tức là bằng $(1 + 0{,}08) = 1{,}08$ lần số lượng của giờ liền trước.
Do đó số lượng vi khuẩn sau $n$ giờ là: $$u_n = 5\,000 \cdot (1{,}08)^n$$ Sau $5$ giờ ($n = 5$), số lượng vi khuẩn là: $$u_5 = 5\,000 \cdot (1{,}08)^5 \approx 5\,000 \cdot 1{,}469328 \approx 7\,347 \text{ con vi khuẩn}$$

3 Tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân

HĐ3 Xây dựng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q \ne 1$. Để tính tổng của $n$ số hạng đầu $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$, thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo $u_1$ và $q$ để được biểu thức tính tổng $S_n$ chỉ chứa $u_1$ và $q$.
b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với $q$ để được biểu thức tính tích $q \cdot S_n$ chỉ chứa $u_1$ và $q$.
c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b để tính $(1 - q)S_n$, từ đó suy ra công thức tính $S_n$.

Xem lời giải HĐ3

a) Biểu diễn các số hạng qua $u_1$ và $q$: $$S_n = u_1 + u_1 q + u_1 q^2 + \dots + u_1 q^{n-1} \quad (1)$$ b) Nhân hai vế của (1) với $q$: $$q \cdot S_n = u_1 q + u_1 q^2 + \dots + u_1 q^{n-1} + u_1 q^n \quad (2)$$ c) Lấy (1) trừ đi (2) theo từng vế: $$S_n - q \cdot S_n = u_1 - u_1 q^n \iff (1 - q)S_n = u_1(1 - q^n)$$ Vì $q \ne 1$ nên ta chia cả hai vế cho $1 - q$: $$S_n = \frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$$

Định lí: Tổng của $n$ số hạng đầu của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q \ne 1$. Đặt $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$. Khi đó:

$$S_n = \frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$$

Câu hỏi thảo luận (?): Nếu cấp số nhân có công bội $q = 1$ thì tổng $n$ số hạng đầu $S_n$ của nó bằng bao nhiêu?
Trả lời: Khi $q = 1$, cấp số nhân là dãy không đổi $u_1, u_1, \dots, u_1$ nên tổng $n$ số hạng đầu là: $$S_n = \underbrace{u_1 + u_1 + \dots + u_1}_{n \text{ số hạng}} = n \cdot u_1$$

Ví dụ 5 Giải bài toán ở tình huống mở đầu

Tính tổng số lương chuyên gia CNTT nhận được sau 10 năm với mức lương năm đầu 240 triệu đồng và mỗi năm tăng 5%.

Xem lời giải

Lương hằng năm (triệu đồng) của chuyên gia lập thành một cấp số nhân, với số hạng đầu $u_1 = 240$ và công bội $q = 1 + 5\% = 1{,}05$.
Tổng số lương của chuyên gia đó sau 10 năm chính là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân này và bằng: $$S_{10} = \frac{u_1(1 - q^{10})}{1 - q} = \frac{240 \cdot [1 - (1{,}05)^{10}]}{1 - 1{,}05} \approx 3\,019 \text{ triệu đồng}$$ Vậy tổng số lương (làm tròn đến triệu đồng) của chuyên gia đó sau 10 năm là $3\,019$ triệu đồng (khoảng hơn 3 tỉ đồng).

Ví dụ 6 Tìm số lượng số hạng đầu khi biết tổng

Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân $2, 6, 18, \ldots$ để được kết quả bằng $728$?

Xem lời giải

Cấp số nhân này có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$. Gọi $n$ là số các số hạng đầu cần lấy. Ta có: $$728 = S_n = \frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{2(1 - 3^n)}{1 - 3} = 3^n - 1$$ Từ đây ta được $3^n = 729 = 3^6$. Suy ra $n = 6$.
Vậy phải lấy $6$ số hạng đầu của cấp số nhân đã cho để được tổng bằng $728$.

Vận dụng Bài toán so sánh phương án tiền lương của nhà máy

Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm ($3$ năm = $12$ quý = $36$ tháng) và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:
• Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là $5$ triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm $500$ nghìn đồng ($0{,}5$ triệu đồng).
• Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là $5$ triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm $5\%$.

Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn?

Xem lời giải Vận dụng

Thời gian làm việc là $3$ năm tương ứng với $12$ quý, mỗi quý có $3$ tháng.

• Theo Phương án 1 (Cấp số cộng):
Lương tháng ở các quý lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $a_1 = 5$ triệu đồng và công sai $d = 0{,}5$ triệu đồng.
Tổng 12 tháng đại diện của 12 quý là: $$S_{12} = \frac{12}{2}[2 \cdot 5 + (12 - 1) \cdot 0{,}5] = 6 \cdot [10 + 5{,}5] = 6 \cdot 15{,}5 = 93 \text{ triệu đồng}$$ Vì mỗi quý có 3 tháng nên tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là: $$T_1 = 3 \times 93 = \mathbf{279 \text{ triệu đồng}}$$
• Theo Phương án 2 (Cấp số nhân):
Lương tháng ở các quý lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $b_1 = 5$ triệu đồng và công bội $q = 1 + 5\% = 1{,}05$.
Tổng 12 tháng đại diện của 12 quý là: $$S'_{12} = \frac{5[1 - (1{,}05)^{12}]}{1 - 1{,}05} \approx \frac{5 \cdot [1 - 1{,}795856]}{-0{,}05} = 100 \cdot 0{,}795856 \approx 79{,}5856 \text{ triệu đồng}$$ Vì mỗi quý có 3 tháng nên tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là: $$T_2 = 3 \times 79{,}5856 \approx \mathbf{238{,}76 \text{ triệu đồng}}$$

Kết luận: So sánh $T_1 = 279$ triệu đồng và $T_2 \approx 238{,}76$ triệu đồng, ta thấy người công nhân chọn Phương án 1 sẽ nhận được tổng tiền lương lớn hơn (nhiều hơn khoảng hơn $40$ triệu đồng).

Bài 7: Cấp số nhân

Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Cấp số nhân (Toán 11 KNTT)