Bài 22: Ba đường conic (Toán Lớp 10)

Thuật ngữ

Đường conic (ba đường conic)
Elip: tiêu điểm, tiêu cự, trục lớn, trục nhỏ, toạ độ các đỉnh
Hypebol: tiêu điểm, tiêu cự, trục thực, trục ảo, toạ độ các đỉnh
Parabol: tiêu điểm, tham số tiêu, đường chuẩn, đỉnh
Phương trình chính tắc của elip, hypebol, parabol

Kiến thức, kĩ năng

Nhận biết ba đường conic (elip, hypebol, parabol) bằng hình học và phương trình chính tắc.
Xác định các yếu tố đặc trưng của elip, hypebol, parabol từ phương trình chính tắc.
Lập phương trình chính tắc của elip, hypebol, parabol khi biết các yếu tố hình học xác định.
Vận dụng phương trình của ba đường conic để giải quyết các bài toán liên quan đến quang học, kiến trúc, định vị và thực tiễn đời sống.

Đặt vấn đề: Những đường cong kì diệu trong tự nhiên và kĩ thuật

Đính trên trần một toà nhà hình elip, tháp làm nguội của nhà máy nhiệt điện có mặt cắt hình hypebol, hay chiếc chảo thu sóng truyền hình vệ tinh có dạng mặt parabol,... Ba đường cong elip, hypebol và parabol xuất hiện rất nhiều trong thế giới tự nhiên và các ứng dụng kĩ thuật hiện đại. Chúng có tên gọi chung là ba đường conic.

Hình 7.17: Vòm trần elip, tháp giải nhiệt hypebol và chảo ăng-ten parabol

1 Đường elip

Định nghĩa đường elip

Cho hai điểm cố định và phân biệt \(F_1, F_2\). Đặt \(F_1F_2 = 2c > 0\). Cho số thực \(a > c\).

Tập hợp các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ \(M\) đến hai điểm \(F_1, F_2\) bằng \(2a\), tức là:

\[MF_1 + MF_2 = 2a\]

được gọi là đường elip (hay elip).

Hai điểm \(F_1, F_2\) gọi là các tiêu điểm của elip.
Đoạn thẳng \(F_1F_2 = 2c\) gọi là tiêu cự của elip.

HĐ1 Cách vẽ đường elip bằng sợi dây không đàn hồi

Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định \(F_1, F_2\) trên một mặt bảng (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách \(F_1F_2\)). Dùng đầu bút chì kéo căng sợi dây tại điểm \(M\) và di chuyển đầu bút chì sao cho sợi dây luôn được kéo căng (H.7.18).

Đầu bút chì vạch nên một đường cong khép kín. Giải thích vì sao đường cong này là một đường elip.

Xem lời giải HĐ1

Vì sợi dây không co giãn và luôn được kéo căng tại \(M\), tổng khoảng cách \(MF_1 + MF_2\) luôn bằng chiều dài sợi dây (đặt là \(2a\)). Do chiều dài sợi dây lớn hơn khoảng cách \(F_1F_2 = 2c\), ta có \(2a > 2c \iff a > c > 0\).

Theo đúng định nghĩa elip, tập hợp vị trí của điểm \(M\) là một đường elip nhận \(F_1, F_2\) làm hai tiêu điểm và có tiêu cự bằng \(F_1F_2\).

HĐ2 Khảo sát vị trí tương đối của các điểm đối với elip

Cho lục giác đều \(ABCDEF\) nội tiếp một đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\) (H.7.19).

Chứng minh rằng \(CA + CB = DA + DB = EA + EB\).
Xét elip \((E)\) nhận \(A, B\) làm hai tiêu điểm và đi qua điểm \(C\). Hỏi các điểm \(D, E, F\) có nằm trên \((E)\) không?
Hình 7.20 minh hoạ một bàn bida hình elip có hai lỗ ở hai tiêu điểm. Nếu đánh bi từ một tiêu điểm đập vào băng chắn thì quả bi sẽ phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại.

Xem lời giải HĐ2

1. Trong lục giác đều cạnh \(R\), ta có: \(AB = R\), đường chéo nhỏ \(CA = EA = R\sqrt{3}\), đường chéo lớn \(DA = 2R\). Các cạnh \(CB = R, EB = R\sqrt{3}, DB = R\sqrt{3}\). Do tính chất đối xứng qua đường kính \(CF\) và \(BE\), ta có: \(CA + CB = R\sqrt{3} + R = DA + DB = EA + EB\).

2. Vì elip \((E)\) có hai tiêu điểm \(A, B\) và đi qua \(C\) nên hằng số \(2a = CA + CB\). Do \(DA + DB = EA + EB = CA + CB\), các điểm \(D, E\) cũng nằm trên \((E)\). Đối với điểm \(F\), do \(FA = R, FB = R\sqrt{3} \implies FA + FB = R + R\sqrt{3} = 2a\), nên \(F\) cũng thuộc elip \((E)\).

Phương trình chính tắc của đường elip

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) sao cho gốc \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(F_1F_2\), trục hoành chứa \(F_1, F_2\) và tiêu điểm \(F_2\) nằm trên tia dương \(Ox\) (H.7.21). Khi đó hai tiêu điểm có toạ độ là:

\[F_1(-c; 0), \quad F_2(c; 0) \quad (c > 0)\]

Điểm \(M(x; y)\) thuộc elip khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn phương trình:

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)\]

trong đó \(b = \sqrt{a^2 - c^2}\) hay \(b^2 = a^2 - c^2\). Phương trình trên gọi là phương trình chính tắc của elip.

Các yếu tố hình học của elip \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

Tính đối xứng: Elip nhận các trục toạ độ \(Ox, Oy\) làm các trục đối xứng và gốc \(O\) làm tâm đối xứng.

Các đỉnh: Cắt \(Ox\) tại hai đỉnh \(A_1(-a; 0), A_2(a; 0)\); cắt \(Oy\) tại hai đỉnh \(B_1(0; -b), B_2(0; b)\).

Các trục: Trục lớn là đoạn \(A_1A_2 = 2a\); trục nhỏ là đoạn \(B_1B_2 = 2b\).

Tiêu điểm & tiêu cự: Hai tiêu điểm \(F_1(-c; 0), F_2(c; 0)\) nằm trên trục lớn; tiêu cự \(F_1F_2 = 2c\) với \(c^2 = a^2 - b^2\).

Lưu ý: Mọi điểm \(M(x; y)\) thuộc elip đều thoả mãn \(-a \le x \le a\) và \(-b \le y \le b\). Elip nằm trọn vẹn bên trong hình chữ nhật cơ sở giới hạn bởi bốn đường thẳng \(x = \pm a, y = \pm b\).

Ví dụ 1 Xác định các yếu tố của elip từ phương trình chính tắc

Cho elip \((E)\) có phương trình chính tắc là \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\). Tìm toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh và độ dài các trục lớn, trục nhỏ của \((E)\).

Lời giải:

Từ phương trình chính tắc \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\), ta có:

• \(a^2 = 25 \implies a = 5\), do đó độ dài trục lớn là \(2a = 2 \cdot 5 = 10\).

• \(b^2 = 9 \implies b = 3\), do đó độ dài trục nhỏ là \(2b = 2 \cdot 3 = 6\).

• Toạ độ bốn đỉnh là: \(A_1(-5; 0), A_2(5; 0), B_1(0; -3), B_2(0; 3)\).

• Ta có \(c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16 \implies c = 4\). Do đó toạ độ hai tiêu điểm là \(F_1(-4; 0)\) và \(F_2(4; 0)\), tiêu cự là \(2c = 8\).

Luyện tập 1 Lập phương trình chính tắc của elip

Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

Xem lời giải Luyện tập 1

Gọi phương trình chính tắc của elip là \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) (\(a > b > 0\)).

Theo đề bài:

• Độ dài trục lớn bằng 10 \(\implies 2a = 10 \iff a = 5 \implies a^2 = 25\).

• Tiêu cự bằng 6 \(\implies 2c = 6 \iff c = 3\).

• Ta có \(b^2 = a^2 - c^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \implies b = 4\).

Vậy phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\).

Vận dụng 1 Mô hình ô thoáng cửa hình bán elip

Một vòm cổng ô thoáng phía trên cửa chính của một ngôi nhà có hình dạng một nửa đường elip (H.7.22). Chiều cao của ô thoáng là \(0,8\text{ m}\) và chiều rộng của cổng là \(2,6\text{ m}\). Hãy chọn hệ trục toạ độ thích hợp và lập phương trình chính tắc của elip chứa nửa đường elip đó.

Xem lời giải Vận dụng 1

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) sao cho gốc \(O\) là trung điểm của cạnh đáy cửa, trục hoành \(Ox\) trùng với mép ngang cửa ô thoáng, trục tung \(Oy\) đi qua đỉnh cao nhất của ô thoáng.

Khi đó, ô thoáng tương ứng với nửa trên của elip (\(y \ge 0\)).

• Chiều rộng vòm cửa là \(2,6\text{ m}\), tương ứng độ dài trục lớn \(2a = 2,6 \implies a = 1,3 \implies a^2 = 1,69\).

• Chiều cao vòm cửa là \(0,8\text{ m}\), tương ứng bán trục nhỏ \(b = 0,8 \implies b^2 = 0,64\).

Vậy phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{x^2}{1,69} + \frac{y^2}{0,64} = 1\) (với đơn vị là mét).

2 Đường hypebol

Định nghĩa đường hypebol

Cho hai điểm phân biệt \(F_1, F_2\). Đặt \(F_1F_2 = 2c > 0\). Cho số thực dương \(a < c\).

Tập hợp các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ \(M\) đến hai điểm \(F_1, F_2\) bằng \(2a\), tức là:

\[|MF_1 - MF_2| = 2a\]

được gọi là đường hypebol (hay hypebol).

Hai điểm \(F_1, F_2\) gọi là các tiêu điểm của hypebol.
Đoạn thẳng \(F_1F_2 = 2c\) gọi là tiêu cự của hypebol.
Đường hypebol gồm hai phần nằm về hai phía đối diện, mỗi phần gọi là một nhánh của hypebol (H.7.23).

Hình 7.23: Hypebol gồm hai nhánh

HĐ3 Ranh giới đường rẽ sóng và phân định khoảng cách

Hai đảo nhỏ hình tròn có tâm tại \(A\) và \(B\), cùng bán kính \(R = 10\text{ km}\) (H.7.24). Một tàu thuyền di chuyển trong vùng biển sao cho khoảng cách từ tàu tới bờ đảo \(A\) luôn ngắn hơn khoảng cách tới bờ đảo \(B\) là \(6\text{ km}\). Chứng minh rằng tàu thuyền luôn di chuyển trên một nhánh của hypebol nhận \(A, B\) làm tiêu điểm.

Xem lời giải HĐ3

Gọi vị trí con tàu là \(M\). Khoảng cách từ tàu tới bờ đảo tròn tâm \(A\) bán kính \(R\) là \(d(M, (A)) = MA - R\). Tương tự, khoảng cách tới bờ đảo tròn tâm \(B\) là \(d(M, (B)) = MB - R\).

Theo giả thiết, khoảng cách tới bờ đảo \(A\) luôn ngắn hơn tới bờ đảo \(B\) một khoảng \(6\text{ km}\):

\[(MB - R) - (MA - R) = 6 \iff MB - MA = 6.\]

Vì hiệu khoảng cách không đổi \(MB - MA = 6 > 0\) và \(A, B\) cố định, quỹ đạo của con tàu là một nhánh của hypebol nhận \(A, B\) làm hai tiêu điểm (nhánh bao quanh đảo \(A\)).

HĐ4 Khảo sát điểm thuộc hypebol trên hình chữ nhật

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) (H.7.25). Xét hypebol \((H)\) có hai tiêu điểm là hai đỉnh \(A, B\) và đi qua điểm \(C\). Hỏi đỉnh \(D\) có nằm trên hypebol \((H)\) hay không?

Xem lời giải HĐ4

Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(DA = CB\) và \(DB = CA\).

Ta có: \(|DA - DB| = |CB - CA| = |CA - CB|\).

Vì \(C\) thuộc \((H)\) có tiêu điểm \(A, B\) nên \(|CA - CB| = 2a\). Do đó \(|DA - DB| = 2a\), suy ra điểm \(D\) cũng thuộc hypebol \((H)\).

Phương trình chính tắc của đường hypebol

Chọn hệ toạ độ \(Oxy\) sao cho gốc \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(F_1F_2\), trục hoành chứa \(F_1, F_2\) và tiêu điểm \(F_2\) nằm trên tia dương \(Ox\) (H.7.26). Khi đó toạ độ hai tiêu điểm là:

\[F_1(-c; 0), \quad F_2(c; 0) \quad (c > 0)\]

Điểm \(M(x; y)\) thuộc hypebol khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn phương trình:

\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0, b > 0)\]

trong đó \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\) hay \(b^2 = c^2 - a^2\). Phương trình trên gọi là phương trình chính tắc của hypebol.

Các yếu tố hình học của hypebol \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)

Tính đối xứng: Hypebol nhận các trục toạ độ \(Ox, Oy\) làm hai trục đối xứng và gốc toạ độ \(O\) làm tâm đối xứng.

Các đỉnh: Cắt trục hoành tại hai đỉnh \(A_1(-a; 0), A_2(a; 0)\); hypebol không cắt trục tung \(Oy\).

Các trục: Đoạn thẳng \(A_1A_2 = 2a\) gọi là trục thực; đoạn thẳng nối \(B_1(0; -b), B_2(0; b)\) có độ dài \(2b\) gọi là trục ảo.

Tiêu điểm & tiêu cự: Hai tiêu điểm \(F_1(-c; 0), F_2(c; 0)\) nằm trên trục thực; tiêu cự \(2c = 2\sqrt{a^2 + b^2}\).

Lưu ý: Mọi điểm \(M(x; y)\) thuộc hypebol đều thoả mãn \(|x| \ge a\) (tức là \(x \le -a\) hoặc \(x \ge a\)). Hypebol nằm ngoài dải mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng song song \(x = -a\) và \(x = a\).

Ví dụ 2 Xác định các yếu tố của hypebol từ phương trình chính tắc

Cho hypebol \((H)\) có phương trình chính tắc là \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\). Tìm toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, tiêu cự, độ dài trục thực và độ dài trục ảo của \((H)\).

Lời giải:

Từ phương trình \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\), ta có:

• \(a^2 = 9 \implies a = 3\), do đó độ dài trục thực là \(2a = 6\).

• \(b^2 = 16 \implies b = 4\), do đó độ dài trục ảo là \(2b = 8\).

• Hai đỉnh của hypebol có toạ độ là \(A_1(-3; 0)\) và \(A_2(3; 0)\).

• Ta có \(c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 \implies c = 5\). Do đó tiêu cự là \(2c = 10\), toạ độ hai tiêu điểm là \(F_1(-5; 0)\) và \(F_2(5; 0)\).

Luyện tập 2 Lập phương trình chính tắc của hypebol

Viết phương trình chính tắc của hypebol có một tiêu điểm là \(F_2(5; 0)\) và độ dài trục thực bằng 6.

Xem lời giải Luyện tập 2

Gọi phương trình chính tắc của hypebol là \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) (\(a > 0, b > 0\)).

Theo giả thiết:

• Tiêu điểm \(F_2(5; 0) \implies c = 5\).

• Độ dài trục thực bằng 6 \(\implies 2a = 6 \iff a = 3 \implies a^2 = 9\).

• Ta có \(b^2 = c^2 - a^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\).

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\).

Vận dụng 2 Ứng dụng hypebol xác định vị trí phát ra âm thanh

Hai trạm quan sát âm thanh \(A\) và \(B\) đặt cách nhau \(4000\text{ m}\). Thiết bị tại hai trạm ghi nhận âm thanh của một vụ nổ tại vị trí \(M\), trạm \(A\) nhận được tín hiệu sớm hơn trạm \(B\) một khoảng thời gian là \(4\text{ giây}\). Biết vận tốc truyền âm trong không khí là \(340\text{ m/s}\). Hãy lập phương trình đường hypebol mà vị trí vụ nổ \(M\) nằm trên đó.

Xem lời giải Vận dụng 2

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) sao cho gốc toạ độ \(O\) là trung điểm của đoạn nối hai trạm \(AB\), trục hoành \(Ox\) đi qua \(A, B\), trạm \(A\) nằm bên phía tia âm, trạm \(B\) nằm bên phía tia dương.

• Khoảng cách giữa hai trạm \(2c = 4000\text{ m} \implies c = 2000\).

• Do trạm \(A\) nghe thấy sớm hơn trạm \(B\) 4 giây nên khoảng cách từ \(M\) tới \(B\) lớn hơn khoảng cách từ \(M\) tới \(A\) là:

\[MB - MA = v \cdot \Delta t = 340 \cdot 4 = 1360\text{ m}.\]

Do đó \(2a = 1360 \implies a = 680 \implies a^2 = 680^2 = 462\,400\).

• Ta có \(b^2 = c^2 - a^2 = 2000^2 - 680^2 = 4\,000\,000 - 462\,400 = 3\,537\,600\).

Vậy điểm \(M\) nằm trên nhánh bên trái (ứng với \(x < 0\)) của hypebol có phương trình chính tắc là: \(\frac{x^2}{462\,400} - \frac{y^2}{3\,537\,600} = 1\).

3 Đường parabol

Định nghĩa đường parabol

Cho một điểm \(F\) cố định và một đường thẳng \(\Delta\) cố định không đi qua \(F\).

Tập hợp các điểm \(M\) trong mặt phẳng cách đều điểm \(F\) và đường thẳng \(\Delta\), tức là:

\[d(M, F) = d(M, \Delta)\]

được gọi là đường parabol (hay parabol).

Điểm \(F\) gọi là tiêu điểm của parabol.
Đường thẳng \(\Delta\) gọi là đường chuẩn của parabol.
Khoảng cách từ \(F\) đến \(\Delta\), kí hiệu là \(p\) (\(p > 0\)), gọi là tham số tiêu của parabol.

HĐ5 Ranh giới cách đều giữa một bờ biển thẳng và hòn đảo nhỏ

Một bờ biển thẳng được coi là một đường thẳng \(\Delta\). Gần đó có một hòn đảo nhỏ hình tròn tâm \(F\), bán kính \(r\) (H.7.28). Một người chèo thuyền trên biển sao cho khoảng cách từ thuyền đến bờ biển \(\Delta\) luôn bằng khoảng cách từ thuyền đến bờ của hòn đảo. Chứng minh rằng đường đi của chiếc thuyền là một đường parabol.

Xem lời giải HĐ5

Gọi vị trí con thuyền là \(M\). Khoảng cách từ \(M\) tới bờ đảo tròn tâm \(F\) bán kính \(r\) là \(MF - r\). Khoảng cách từ \(M\) tới bờ biển thẳng \(\Delta\) là \(d(M, \Delta)\).

Theo giả thiết:

\[d(M, \Delta) = MF - r \iff MF = d(M, \Delta) + r.\]

Xét đường thẳng \(\Delta'\) song song với \(\Delta\), nằm về phía không chứa \(F\) và cách \(\Delta\) một khoảng bằng \(r\). Khi đó \(d(M, \Delta') = d(M, \Delta) + r\).

Do đó \(MF = d(M, \Delta')\). Theo định nghĩa parabol, tập hợp các điểm \(M\) là một đường parabol có tiêu điểm \(F\) và đường chuẩn là \(\Delta'\).

Phương trình chính tắc của đường parabol

Cho parabol có tham số tiêu \(p\). Kẻ \(FH \perp \Delta\) tại \(H\), khi đó \(FH = p\). Chọn hệ toạ độ \(Oxy\) sao cho gốc \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(FH\), tia \(Ox\) chứa điểm \(F\) (H.7.27). Khi đó:

\[\text{Tiêu điểm } F\left(\frac{p}{2}; 0\right), \quad \text{Phương trình đường chuẩn } \Delta: x = -\frac{p}{2} \iff x + \frac{p}{2} = 0\]

Điểm \(M(x; y)\) thuộc parabol khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn phương trình:

\[y^2 = 2px \quad (p > 0)\]

Phương trình trên gọi là phương trình chính tắc của parabol.

Các yếu tố hình học của parabol \(y^2 = 2px\)

Vị trí: Vì \(p > 0\) nên \(x = \frac{y^2}{2p} \ge 0\). Parabol nằm hoàn toàn về phía bên phải trục tung \(Oy\).

Tính đối xứng: Parabol nhận trục hoành \(Ox\) làm trục đối xứng.

Đỉnh: Gốc toạ độ \(O(0; 0)\) gọi là đỉnh của parabol.

Bán kính qua tiêu: Với điểm \(M(x; y) \in (P)\), khoảng cách \(MF = x + \frac{p}{2}\).

Ví dụ 3 Xác định tiêu điểm và đường chuẩn của parabol

Cho parabol \((P)\) có phương trình chính tắc \(y^2 = 12x\). Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của \((P)\).

Lời giải:

Từ phương trình chính tắc \(y^2 = 12x\), ta có \(2p = 12 \implies p = 6\).

• Toạ độ tiêu điểm là: \(F\left(\frac{p}{2}; 0\right) = F(3; 0)\).

• Phương trình đường chuẩn là: \(\Delta: x = -\frac{p}{2} \iff x = -3\) hay \(x + 3 = 0\).

Luyện tập 3 Lập phương trình chính tắc của parabol

Viết phương trình chính tắc của parabol có đường chuẩn \(\Delta: x = -4\).

Xem lời giải Luyện tập 3

Phương trình đường chuẩn của parabol có dạng \(x = -\frac{p}{2}\).

Theo giả thiết, đường chuẩn là \(x = -4 \implies -\frac{p}{2} = -4 \iff p = 8\).

Vậy phương trình chính tắc của parabol là: \(y^2 = 2px \iff y^2 = 16x\).

Vận dụng 3 Tính chất phản xạ của đèn pha gương parabol

Gương phản xạ của đèn pha ô tô có mặt cắt là một parabol có phương trình \(y^2 = 2px\). Bóng đèn được đặt tại vị trí tiêu điểm \(F\). Nếu muốn khoảng cách từ đỉnh parabol tới bóng đèn là \(2\text{ cm}\), hãy xác định tham số tiêu \(p\) và viết phương trình chính tắc của parabol đó.

Xem lời giải Vận dụng 3

Khoảng cách từ đỉnh \(O(0; 0)\) đến tiêu điểm \(F\left(\frac{p}{2}; 0\right)\) là \(OF = \frac{p}{2}\).

Theo đề bài: \(OF = 2\text{ cm} \implies \frac{p}{2} = 2 \iff p = 4\text{ cm}\).

Vậy phương trình chính tắc của gương parabol là: \(y^2 = 2 \cdot 4 \cdot x \iff y^2 = 8x\) (với đơn vị là cm).

4 Một số ứng dụng của ba đường conic

Nguồn gốc tên gọi và tính chất quang học đặc sắc

Ba đường elip, hypebol, parabol được gọi chung là các đường conic (từ chữ La-tinh conus nghĩa là hình nón), bởi vì chúng có thể nhận được khi dùng một mặt phẳng cắt một mặt nón tròn xoay hai đáy ở các góc nghiêng khác nhau.

Tính chất quang học của elip và hypebol

• Gương elip: Tia sáng hoặc chùm sóng phát xuất từ một tiêu điểm \(F_1\) sau khi phản xạ qua gương có dạng elip sẽ luôn hội tụ về tiêu điểm kia \(F_2\) (H.7.29a).

• Gương hypebol: Tia sáng hướng về tiêu điểm \(F_2\) sau khi phản xạ tại gương lồi hypebol sẽ toả ra như thể phát xuất từ tiêu điểm \(F_1\) (H.7.30b).

Tính chất quang học của gương parabol

Tia sáng phát ra từ tiêu điểm \(F\) của một gương phản xạ parabol sau khi chạm gương sẽ phản xạ theo phương song song với trục đối xứng của parabol (H.7.31a).

Ngược lại, các chùm tia sóng truyền song song với trục đối xứng của gương khi chiếu vào gương sẽ đồng loạt hội tụ về đúng tiêu điểm \(F\) (H.7.31b). Đây là nguyên lí hoạt động của ăng-ten parabol, gương thiên văn phản xạ và các tấm thu năng lượng mặt trời.

Ứng dụng trong kiến trúc, thiên văn, y học và giao thông

Hình 7.32 (trên): Vòm hoa elip và bãi cỏ hình elip phía Nam Nhà Trắng (Mỹ)

Hình 7.32 (dưới): Kính thiên văn phản xạ, ăng-ten chảo và đèn chiếu

Hình 7.33: Máy tán sỏi thận elip ngoài cơ thể (ESWL)

Hình 7.34: Thiết kế khúc cua parabol trong đường đua giúp xe chuyển hướng an toàn

Ví dụ 4 Ứng dụng elip trong máy tán sỏi thận

Trong một máy tán sỏi thận ngoài cơ thể, gương phản xạ có dạng một phần elip với trục lớn \(2a = 16\text{ cm}\) và trục nhỏ \(2b = 10\text{ cm}\). Sóng siêu âm phát ra từ tiêu điểm \(F_1\) và hội tụ tại tiêu điểm \(F_2\) (nơi viên sỏi được định vị). Tính khoảng cách từ đầu phát sóng siêu âm \(F_1\) đến viên sỏi \(F_2\).

Lời giải:

Ta có: độ dài bán trục lớn \(a = 8\text{ cm}\), bán trục nhỏ \(b = 5\text{ cm}\).

Nửa tiêu cự \(c\) được tính bởi công thức:

\[c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{8^2 - 5^2} = \sqrt{64 - 25} = \sqrt{39}\text{ cm} \approx 6,24\text{ cm}.\]

Khoảng cách từ đầu phát sóng \(F_1\) đến viên sỏi \(F_2\) chính là tiêu cự \(F_1F_2 = 2c\):

\[F_1F_2 = 2\sqrt{39}\text{ cm} \approx 12,49\text{ cm}.\]

Ví dụ 5 Thiết kế chảo đèn pha parabol

Một chảo đèn pha ô tô có mặt cắt dạng parabol với đường kính miệng chảo là \(20\text{ cm}\) và độ sâu là \(5\text{ cm}\). Hãy chọn hệ trục toạ độ và lập phương trình chính tắc của parabol, từ đó xác định vị trí đặt bóng đèn chiếu.

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) sao cho gốc \(O\) là đáy lòng chảo (đỉnh của parabol), trục đối xứng là \(Ox\).

Phương trình chính tắc của parabol có dạng: \(y^2 = 2px\) (\(p > 0\)).

Do độ sâu bằng \(5\text{ cm}\) và đường kính miệng chảo bằng \(20\text{ cm}\), điểm biên miệng chảo có toạ độ \(M(5; 10)\).

Thay toạ độ điểm \(M\) vào phương trình, ta có:

\[10^2 = 2p \cdot 5 \iff 100 = 10p \implies p = 10\text{ cm}.\]

Vậy phương trình chính tắc của chảo parabol là \(y^2 = 20x\). Vị trí đặt bóng đèn chiếu là tiêu điểm \(F\left(\frac{p}{2}; 0\right) = F(5; 0)\), tức là bóng đèn được đặt tại mặt phẳng miệng chảo, cách đáy chảo \(5\text{ cm}\).

Luyện tập 4 Kính thiên văn phản xạ dùng gương parabol

Một gương phản xạ parabol của kính thiên văn có đường kính bề mặt là \(120\text{ cm}\) và chiều sâu là \(3\text{ cm}\). Tìm khoảng cách từ đỉnh của gương parabol tới tiêu điểm của nó.

Xem lời giải Luyện tập 4

Chọn hệ toạ độ sao cho đỉnh gương trùng gốc \(O\), trục đối xứng là \(Ox\). Phương trình parabol là \(y^2 = 2px\).

Điểm mép ngoài của gương có toạ độ \(M(3; 60)\) (vì chiều sâu \(x = 3\text{ cm}\) và bán kính mép \(y = 60\text{ cm}\)).

Thay vào phương trình ta có: \(60^2 = 2p \cdot 3 \iff 3600 = 6p \implies p = 600\text{ cm}\).

Khoảng cách từ đỉnh gương đến tiêu điểm là: \(\frac{p}{2} = \frac{600}{2} = 300\text{ cm} = 3\text{ m}\).

Em có biết: Hệ thống định vị vô tuyến LORAN và nhà toán học Apollonius

Hệ thống LORAN (Long Range Navigation): Trong Chiến tranh thế giới thứ hai và nhiều thập kỉ sau đó, trước khi hệ thống vệ tinh GPS ra đời, hệ thống định vị vô tuyến mặt đất tầm xa LORAN đóng vai trò cực kì then chốt trong định hướng hàng hải và hàng không. Một máy thu trên tàu nhận tín hiệu vô tuyến đồng bộ phát ra từ hai cặp trạm phát. Sự chênh lệch thời gian nhận tín hiệu từ mỗi cặp trạm xác định một đường hypebol. Giao điểm của hai đường hypebol tương ứng từ hai cặp trạm sẽ định vị chính xác vị trí của con tàu trên hải trình rộng lớn.

Nhà toán học Apollonius thành Perga (khoảng 262 – 190 TCN): Ông được mệnh danh là "Nhà hình học vĩ đại" của thời Cổ đại Hy Lạp. Tác phẩm kinh điển "Conics" (Gồm 8 tập) của ông là công trình đầu tiên nghiên cứu toàn diện và có hệ thống về elip, hypebol và parabol, đồng thời chính ông là người đặt tên cho ba đường cong kì diệu này.

Hình 7.35: Bản đồ LORAN và chân dung Apollonius

Bài 22: Ba đường conic