Chương IV: Quan hệ song song trong không gian Toán 11 KNTT - Bài 10

BÀI 10: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Mở đầu hình học không gian: Nắm vững các đối tượng cơ bản gồm điểm, đường thẳng, mặt phẳng; hệ thống 6 tính chất thừa nhận; 3 cách xác định mặt phẳng; phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng; khái niệm và yếu tố của hình chóp và hình tứ diện.

🔑 Thuật ngữ then chốt: Mặt phẳng, Điểm thuộc mặt phẳng, Điểm đồng phẳng, Giao tuyến, Giao điểm, Hình chóp, Hình tứ diện.

🎯 Kĩ năng cốt lõi: Vẽ hình biểu diễn (nét liền / nét đứt), tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Khái Niệm Mở Đầu

Mặt bảng, mặt bàn, màn hình máy tính hay mặt nước phẳng lặng lúc đứng gió là những hình ảnh trực quan về một phần của mặt phẳng.

📌 Tính chất cơ bản: Mặt phẳng là đối tượng hình học không có bề dày và mở rộng vô hạn về mọi phía (không có giới hạn).

Biểu diễn và kí hiệu mặt phẳng:

Hình biểu diễn: Người ta thường dùng một hình bình hành hoặc một miền góc để biểu diễn một mặt phẳng.
Kí hiệu: Dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc đơn: chẳng hạn mặt phẳng $(P)$, mặt phẳng $(Q)$, mặt phẳng $(\alpha)$, mặt phẳng $(\beta)$...

Hình 4.1: Biểu diễn mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(\alpha)$

Quan hệ liên thuộc giữa Điểm và Mặt phẳng (HĐ1 - Trang 71 SGK):

Chấm phạt đền trên sân bóng đá cho ta hình ảnh một điểm thuộc một mặt phẳng.

• Nếu điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(P)$, kí hiệu: $A \in (P)$. Ta còn nói: $A$ nằm trên $(P)$, hoặc $(P)$ chứa $A$, hoặc $(P)$ đi qua $A$.

• Nếu điểm $B$ không thuộc mặt phẳng $(P)$, kí hiệu: $B \notin (P)$. Ta còn nói: $B$ nằm ngoài $(P)$.

Hình 4.2b: Điểm $A \in (P)$ và $B \notin (P)$

Quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian (Trang 71 SGK):

Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ song song và quan hệ cắt nhau giữa các đường thẳng.
Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.
QUY ƯỚC QUAN TRỌNG: Dùng nét liền (—) để biểu diễn cho các đường nhìn thấy; dùng nét đứt đoạn (- - -) để biểu diễn cho các đường bị che khuất.

Hình biểu diễn hình chóp và lập phương Hình 4.3

Hình 4.3: Nét liền (nhìn thấy) và nét đứt (bị che khuất)

Các Tính Chất Thừa Nhận Của Hình Học Không Gian

Hình học không gian được xây dựng trên nền tảng của 6 tính chất thừa nhận (tiên đề) xuất phát từ thực tiễn:

Tính chất 1 Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

Tính chất 2 Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A, B, C$ được kí hiệu là mặt phẳng $(ABC)$ hoặc $(BCA)$, $(CAB)$...

Tính chất 3 Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng.
Nếu không có mặt phẳng nào chứa tất cả các điểm đó thì ta nói những điểm đó không đồng phẳng.

Hình 4.5: 4 điểm không đồng phẳng

Ví dụ 1 (SGK): Cho 4 điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng. Có đúng 4 mặt phẳng đi qua 3 trong số 4 điểm đã cho, gồm: $(DAB), (DAC), (DBC), (ABC)$.
Luyện tập 1: Cho tứ giác $ABCD$. Do $ABCD$ là tứ giác phẳng nên 4 đỉnh cùng thuộc 1 mặt phẳng, do đó chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng $(ABCD)$ đi qua 3 trong 4 đỉnh!

💡 Vận dụng 1 (Trang 72 SGK) — Ứng dụng kiềng ba chân trong đời sống: Chân máy ảnh, kiềng đun bếp, giá vẽ tranh... đều được thiết kế gồm đúng 3 chân vì: Ba điểm đầu mút tiếp xúc của 3 chân luôn tạo thành 3 điểm không thẳng hàng, từ đó xác định duy nhất một mặt phẳng. Nhờ vậy, vật dụng luôn đứng vững vàng, tiếp xúc hoàn toàn với mặt đất mà không bao giờ bị cập kênh như vật dụng 4 chân.

Tính chất 4 Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Khi đó, ta nói đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ (hoặc $(P)$ chứa $d$), kí hiệu: $d \subset (P)$ hoặc $(P) \supset d$.

Hình 4.6: $M \in BC \implies M \in (ABC)$

Ví dụ 2 & Luyện tập 2: Cho tam giác $ABC$. Vì $B, C \in (ABC) \implies BC \subset (ABC)$. Nếu lấy điểm $M \in BC$ thì hiển nhiên $M \in (ABC)$. Nếu lấy thêm $N \in AB$ thì đường thẳng $MN \subset (ABC)$.

Tính chất 5 (Trọng tâm) Khái niệm Giao Tuyến của hai mặt phẳng phân biệt

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó.

Đường thẳng chung $d$ của hai mặt phẳng phân biệt $(P)$ và $(Q)$ được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng, kí hiệu là: $d = (P) \cap (Q)$.

Bí quyết vàng tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng

Hình 4.8: Giao tuyến $SG$ của $(SBN)$ và $(SCM)$

Ví dụ 3 (SGK): Cho tam giác $ABC$ và điểm $S \notin (ABC)$. $M, N$ là trung điểm $AB, AC$. Hai mặt phẳng $(SBN)$ và $(SCM)$ có điểm chung thứ nhất là $S$. Điểm chung thứ hai chính là giao điểm $G = BN \cap CM$ (trọng tâm tam giác $ABC$). Do đó giao tuyến là đường thẳng $SG$.

Tính chất 6 Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

Ba Cách Xác Định Một Mặt Phẳng

Một mặt phẳng được xác định duy nhất khi biết một trong ba điều kiện sau:

Cách 1

Qua 3 điểm không thẳng hàng

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng $A, B, C$.

Kí hiệu: $(ABC)$

Cách 2

Qua 1 điểm & 1 đường thẳng

Đi qua một điểm $A$ và chứa một đường thẳng $d$ không đi qua điểm $A$ đó.

Kí hiệu: $\text{mp}(A, d)$

Cách 3

Qua 2 đường thẳng cắt nhau

Chứa hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ (tại giao điểm $M = a \cap b$).

Kí hiệu: $\text{mp}(a, b)$

Ví dụ 4 Xác định giao tuyến của $\text{mp}(S, a)$ và $\text{mp}(S, b)$ (Trang 75 SGK)

Cho hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ tại điểm $M$. Điểm $S \notin \text{mp}(a, b)$.
• Vì $M \in a \implies M \in \text{mp}(S, a)$; vì $M \in b \implies M \in \text{mp}(S, b)$.
• Cả hai mặt phẳng cùng chứa điểm $S$ và điểm $M$, do đó giao tuyến của chúng là đường thẳng $SM$.

Hình 4.10: Giao tuyến $SM$

💡 Vận dụng 2 (Trang 75 SGK) — Cục hít nam châm giữ cửa: Trục bản lề của cánh cửa được cố định bởi hai điểm. Khi cánh cửa mở ra và chạm vào cục nam châm hít ở sàn/tường (điểm thứ ba không nằm trên trục bản lề), ba điểm này xác định duy nhất một mặt phẳng, giúp cánh cửa được giữ cố định vững chắc, không bị gió giật va đập.

Hình Chóp Và Hình Tứ Diện

A. Khái niệm Hình chóp

Cho đa giác lồi $A_1 A_2 \dots A_n$ và một điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối $S$ với các đỉnh của đa giác, ta được hình chóp $S.A_1 A_2 \dots A_n$.

Đỉnh: Điểm $S$.
Mặt đáy: Đa giác $A_1 A_2 \dots A_n$.
Các mặt bên: Các tam giác $S A_1 A_2, S A_2 A_3, \dots, S A_n A_1$.
Các cạnh bên: Các đoạn thẳng $S A_1, S A_2, \dots, S A_n$.
Các cạnh đáy: Các đoạn thẳng $A_1 A_2, A_2 A_3, \dots, A_n A_1$.

Hình 4.11: Hình chóp tứ giác $S.ABCD$

Ghi nhớ công thức số đỉnh, số mặt, số cạnh: Hình chóp có đáy là đa giác $n$ cạnh thì có: $(n + 1)$ đỉnh, $(n + 1)$ mặt, và $2n$ cạnh (gồm $n$ cạnh bên và $n$ cạnh đáy).

B. Khái niệm Hình tứ diện

Cho bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác $ABC, ACD, ABD, BCD$ được gọi là hình tứ diện, kí hiệu là $ABCD$.

• Có 4 đỉnh: $A, B, C, D$.
• Có 4 mặt: các tam giác $ABC, ACD, ABD, BCD$.
• Có 6 cạnh: $AB, BC, CD, DA, AC, BD$.

• Cạnh đối diện: Hai cạnh không có đỉnh chung (gồm 3 cặp: $AB$ và $CD$, $AC$ và $BD$, $AD$ và $BC$).
• Tứ diện đều: Hình tứ diện có cả 4 mặt đều là tam giác đều.

* Nhận xét: Hình tứ diện chính là hình chóp tam giác mà bất kì mặt nào cũng có thể được coi là mặt đáy!

Kĩ thuật trọng tâm Phương Pháp Tìm Giao Điểm Của Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

Để tìm giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$, ta thực hiện theo quy trình 2 bước:

Bước 1: Tìm trong mặt phẳng $(\alpha)$ một đường thẳng $a$ sao cho $a$ cùng nằm trong một mặt phẳng với $d$ (thường chọn một mặt phẳng phụ $(\beta)$ chứa $d$, rồi tìm giao tuyến $a = (\alpha) \cap (\beta)$).
Bước 2: Giao điểm $I = d \cap a$ chính là giao điểm cần tìm: $I = d \cap (\alpha)$.

Bí quyết tìm giao điểm đường và mặt

Ví dụ 6 Tìm giao điểm của $BF$ và $(ACD)$ trong tứ diện $ABCD$ (Trang 76 SGK)

Cho $E$ nằm trong tam giác $BCD$, đường thẳng $BE$ cắt $CD$ tại $M$. Điểm $F$ nằm trên đoạn $AE$.
• Mặt phẳng phụ chứa $BF$ chính là mặt phẳng $(ABM)$.
• Giao tuyến của $(ABM)$ và $(ACD)$ là đường thẳng $AM$.
• Trong mặt phẳng $(ABM)$, gọi $N = BF \cap AM$.
• Vì $N \in AM \subset (ACD)$ nên $N$ chính là giao điểm của $BF$ và mặt phẳng $(ACD)$.

Hình 4.12: $N = BF \cap (ACD)$

Trong các khẳng định sau về các cách xác định mặt phẳng trong không gian, khẳng định nào sai?

Lời giải chi tiết:

Theo Tính chất 2 (SGK Toán 11 trang 72), chỉ khi ba điểm không thẳng hàng thì mới xác định duy nhất một mặt phẳng. Nếu ba điểm phân biệt mà thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm đó (tựa như các trang sách cùng quay quanh chiếc gáy sách). Do đó khẳng định A là sai (đáp án đúng của câu hỏi).