Phân tích chi tiết từng mệnh đề:

• Mệnh đề A đúng: Theo định nghĩa, đường thẳng song song với mặt phẳng là đường thẳng không có điểm chung với mặt phẳng đó ($a \cap (P) = \varnothing$). Do đó nếu có điểm chung thì chắc chắn không song song.
• Mệnh đề B sai: Nếu có từ 2 điểm chung phân biệt trở lên thì đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, không phải cắt nhau.
• Mệnh đề C sai: Thiếu điều kiện quan trọng là $a$ không nằm trong $(P)$. Nếu $a \subset (P)$ thì không thể nói $a // (P)$.
• Mệnh đề D sai: Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể cắt nhau, song song hoặc chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

Theo định nghĩa trong SGK Toán 11:

Đường thẳng $d$ được gọi là song song với mặt phẳng $(P)$ nếu $d$ và $(P)$ không có điểm chung:

$d // (P) \iff d \cap (P) = \varnothing$

Lời giải chi tiết:

Theo Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết):

Nếu đường thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ và song song với một đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$ thì $a$ song song với $(P)$:

$\begin{cases} a \not\subset (P) \\ a // b \\ b \subset (P) \end{cases} \implies a // (P)$

Lời giải chi tiết:

• Đường thẳng $AM$ chính là đường thẳng chứa cạnh $AC$.
• Điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(BCD)$ (do $ABC$ và $ABD$ không đồng phẳng).
• Điểm $C$ thuộc mặt phẳng $(BCD)$.
• Do đó, đường thẳng $AM$ có đúng 1 điểm chung với $(BCD)$ là điểm $C$.

Vậy đường thẳng $AM$ cắt mặt phẳng $(BCD)$ tại điểm $C$.

Lời giải chi tiết:

• Trong tam giác $ACD$, $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AD$ nên $MN$ là đường trung bình ứng với cạnh $CD \implies MN // CD$.
• Mặt khác, đường thẳng $CD \subset (BCD)$.
• Đường thẳng $MN$ không nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ (do $M, N$ không thuộc $(BCD)$).
• Theo định lí nhận biết: $\begin{cases} MN \not\subset (BCD) \\ MN // CD \\ CD \subset (BCD) \end{cases} \implies MN // (BCD)$.

Lời giải chi tiết:

• Trong tam giác $BCD$, $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$. Do đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $BCD \implies MN // BD$.
• Đường thẳng $MN \subset (AMN)$.
• Đường thẳng $BD$ không nằm trong mặt phẳng $(AMN)$ (vì đỉnh $A$ không thuộc mặt phẳng $(BCD)$).
• Áp dụng định lí nhận biết: $\begin{cases} BD \not\subset (AMN) \\ BD // MN \\ MN \subset (AMN) \end{cases} \implies BD // (AMN)$.