Chương VI: Hàm số mũ và Hàm số lôgarit • Toán 11 KNTT – Bài 19

BÀI 19: LÔGARIT

Khám phá phép toán ngược của phép nâng lên luỹ thừa; nắm vững hệ thống tính chất, quy tắc đổi cơ số, lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên (số $e$) và ứng dụng vào thực tiễn tài chính, hoá học, vật lí.

3 Quy tắc vàng

100% Chuẩn KNTT

Khái niệm Lôgarit Tính chất & Quy tắc Công thức đổi cơ số Lôgarit thập phân (lg, log) Lôgarit tự nhiên (ln) & Số e

🏦

Tình huống thực tiễn mở đầu: Tìm thời gian đạt mục tiêu tài chính

Phép toán ngược của luỹ thừa giúp giải bài toán thời gian trong tăng trưởng kinh tế

Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng $100$ triệu đồng kì hạn $12$ tháng, với lãi suất không đổi là $6\%$/năm. Khi đó sau $n$ năm gửi, tổng số tiền bác An thu được (cả vốn lẫn lãi) được tính bởi công thức: $$A = 100 \cdot (1 + 0,06)^n \text{ (triệu đồng)}$$

Câu hỏi đặt ra: Sau ít nhất bao nhiêu năm, tổng số tiền bác An thu được là không dưới $150$ triệu đồng?

$$100 \cdot (1,06)^n \ge 150 \iff 1,06^n \ge 1,5$$

Để tìm số năm $n$, ta phải tìm số mũ $n$ khi biết cơ số $1,06$ và kết quả $1,5$. Phép toán tìm số mũ đó được gọi là phép tính lôgarit: $n = \log_{1,06} 1,5 \approx 6,96$ năm (tức sau ít nhất 7 năm).

Khái Niệm Lôgarit

Định nghĩa Lôgarit

Cho $a$ là một số thực dương khác 1 ($0 < a \ne 1$) và $M$ là một số thực dương ($M > 0$).

Số thực $\alpha$ thoả mãn đẳng thức $a^\alpha = M$ được gọi là lôgarit cơ số $a$ của $M$ và kí hiệu là $\log_a M$.

$$\alpha = \log_a M \iff a^\alpha = M$$

ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CỦA LÔGARIT:

Không có lôgarit của số âm và số 0: $\log_a M$ chỉ xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu lôgarit dương ($M > 0$).
Cơ số của lôgarit bắt buộc phải dương và khác 1: $0 < a \ne 1$.

Các tính chất nền tảng (với $0 < a \ne 1, M > 0, \alpha \in \mathbb{R}$):

$$\log_a 1 = 0$$ Vì $a^0 = 1$

$$\log_a a = 1$$ Vì $a^1 = a$

$$a^{\log_a M} = M$$ Đẳng thức mũ - lôgarit

$$\log_a (a^\alpha) = \alpha$$ Lôgarit của một luỹ thừa cơ số $a$

Ví dụ 1 (SGK)

Tính giá trị của các biểu thức:

a) $\log_2 \frac{1}{8}$: $$\log_2 \frac{1}{8} = \log_2 (2^{-3}) = -3.$$

b) $\log_{\sqrt{3}} 9$: $$\log_{\sqrt{3}} 9 = \log_{\sqrt{3}} [(\sqrt{3})^4] = 4.$$

Luyện tập 1 (SGK)

Tính giá trị của các biểu thức:

a) $\log_3 (3\sqrt{3})$: $$\log_3 (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) = \log_3 (3^{1 + \frac{1}{2}}) = \log_3 (3^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}.$$

b) $\log_{\frac{1}{2}} 32$: $$\log_{\frac{1}{2}} 32 = \log_{\frac{1}{2}} (2^5) = \log_{\frac{1}{2}} [(\frac{1}{2})^{-5}] = -5.$$

Tính Chất Của Lôgarit & Công Thức Đổi Cơ Số

a) Quy tắc tính Lôgarit

Giả sử $a$ là số thực dương khác 1, $M$ và $N$ là các số thực dương, $\alpha$ là số thực tuỳ ý. Khi đó:

Lôgarit của một tích $$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$$ Tích biến thành Tổng

Lôgarit của một thương $$\log_a \left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N$$ Thương biến thành Hiệu

Lôgarit của một luỹ thừa $$\log_a (M^\alpha) = \alpha \log_a M$$ Đưa số mũ ra phía trước

• Hệ quả 1: $\log_a \left(\frac{1}{N}\right) = -\log_a N$ • Hệ quả 2: $\log_a \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_a M$ ($n \in \mathbb{N}^*$)

Ví dụ 2 (SGK)

Tính giá trị của các biểu thức:

a) $\log_4 2 + \log_4 32$: $$= \log_4 (2 \cdot 32) = \log_4 64 = \log_4 (4^3) = 3.$$

b) $\log_2 80 - \log_2 5$: $$= \log_2 \left(\frac{80}{5}\right) = \log_2 16 = \log_2 (2^4) = 4.$$

Luyện tập 2 (SGK)

Rút gọn biểu thức ($x > 1$):

$$A = \log_2(x^3 - x) - \log_2(x + 1) - \log_2(x - 1)$$

Lời giải:

$$A = \log_2 \left[\frac{x^3 - x}{(x + 1)(x - 1)}\right] = \log_2 \left[\frac{x(x^2 - 1)}{x^2 - 1}\right] = \log_2 x.$$

b) Công thức đổi cơ số của Lôgarit

Với các cơ số $a, b$ thoả mãn $0 < a \ne 1, 0 < b \ne 1$ và số thực $M > 0$:

$$\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}$$

1. Nghịch đảo cơ số: $$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$

2. Đưa số mũ của cơ số ra ngoài: $$\log_{a^\alpha} M = \frac{1}{\alpha} \log_a M \quad (\alpha \ne 0)$$

Công thức tích hợp tổng quát: $\log_{a^\alpha} (M^\beta) = \frac{\beta}{\alpha} \log_a M$ (với $0 < a \ne 1, M > 0, \alpha \ne 0$).

Lôgarit Thập Phân & Lôgarit Tự Nhiên (Số e)

a) Lôgarit thập phân (Cơ số 10)

Lôgarit cơ số 10 của một số dương $M$ được gọi là lôgarit thập phân của $M$, kí hiệu là: $\log M$ hoặc $\lg M$.

Ứng dụng hoá học – Độ pH của dung dịch: $$pH = -\log[H^+]$$ Trong đó $[H^+]$ là nồng độ ion hydrogen (mol/lít).

Nếu $pH < 7$: dung dịch có tính axit.
Nếu $pH = 7$: dung dịch trung tính (nước tinh khiết).
Nếu $pH > 7$: dung dịch có tính bazơ (kiềm).

b) Số $e$ và Lôgarit tự nhiên

Số vô tỉ $e$ là giới hạn của dãy số khi $x \to +\infty$:

$$e = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \approx 2,718281828...$$

Lôgarit cơ số $e$ của một số dương $M$ được gọi là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nê-pe) của $M$, kí hiệu là: $\ln M$ (đọc là "len của M" hoặc "lôgarit nê-pe của M").

Công thức Lãi kép liên tục: Nếu gửi số vốn $P$ với lãi suất hàng năm không đổi là $r$ theo thể thức lãi kép liên tục thì sau $t$ năm, tổng số tiền thu được là:

$$A = P \cdot e^{rt}$$

Thời gian cần thiết để tăng gấp đôi số tiền đầu tư ($A = 2P$): $$t = \frac{\ln 2}{r}$$

📱 Tính Lôgarit bằng máy tính cầm tay (Casio fx-580VN X)

Biểu thức	Thao tác bấm phím	Màn hình hiện	Kết quả (làm tròn 4 chữ số thập phân)
$\log 6,52$	`log` `6.52` `=`	0.8142475957	$\approx 0,8142$
$\ln 6,52$	`ln` `6.52` `=`	1.874874376	$\approx 1,8749$
$\log_{14} 17$	`log■□` `14` `▶` `17` `=`	1.073570215	$\approx 1,0736$

💡

Em có biết? — Nhà toán học John Napier và phát minh Lôgarit

Lôgarit được phát minh độc lập bởi nhà toán học người Scotland John Napier (1550 – 1617) và nhà toán học Thụy Sĩ Bürgi như một công cụ đắc lực để đơn giản hoá việc tính toán thiên văn và hàng hải.

Năm 1614, Napier xuất bản công trình "Mô tả các bảng lôgarit". Nhờ biến phép nhân thành phép cộng và phép chia thành phép trừ, phát minh này đã giúp giảm hàng trăm giờ tính toán thủ công.

Nhà toán học và thiên văn học nổi tiếng Pierre-Simon Laplace từng ngợi ca: "Việc phát minh ra lôgarit đã nhân đôi tuổi thọ của các nhà tính toán thiên văn!"

Cho $a$ và $M$ là hai số thực. Biểu thức $\log_a M$ có nghĩa (xác định) khi và chỉ khi điều kiện nào sau đây thoả mãn?

Lời giải chi tiết:

Theo định nghĩa lôgarit trong SGK Toán 11:\n- Cơ số $a$ bắt buộc phải là số thực dương khác 1 ($0 < a \ne 1$).\n- Biểu thức lấy lôgarit $M$ bắt buộc phải là số thực dương ($M > 0$).\nKhông tồn tại lôgarit của số âm và số 0.