Ưu đãi 50% Tặng trọn bộ Ebook 500 Bí kíp 9+ Toán THPT!
79 Bài →
Mup
MathUp .vn
Chương IV: Quan hệ song song trong không gian

Bài 14: Phép chiếu song song

424 người đã học

Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Phép chiếu song song (Toán 11 KNTT)

CHƯƠNG IV: QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 11 KNTT – BÀI 14

BÀI 14: PHÉP CHIẾU SONG SONG

Khám phá chiếc cầu nối kì diệu giữa không gian 3 chiều và trang giấy phẳng 2 chiều: nắm vững khái niệm mặt phẳng chiếu, phương chiếu; các tính chất bảo toàn thẳng hàng, song song và tỉ số đoạn thẳng; quy tắc vẽ hình biểu diễn chuẩn xác cùng ứng dụng công nghệ đồ hoạ hiện đại.

🔑 Thuật ngữ then chốt: Phép chiếu song song, Phương chiếu, Mặt phẳng chiếu, Hình biểu diễn.
🎯 Kĩ năng cốt lõi: Xác định hình chiếu, vẽ hình biểu diễn hình chóp - lăng trụ, bảo toàn tỉ số đoạn thẳng.
⚽

Tình huống thực tiễn mở đầu: Công nghệ Goal-line trong bóng đá đỉnh cao

Trong các trận cầu đỉnh cao (World Cup, Ngoại Hạng Anh), công nghệ Goal-line được sử dụng để xác định chính xác quả bóng đã hoàn toàn vượt qua vạch vôi khung thành hay chưa, giúp trọng tài đưa ra quyết định bàn thắng chỉ trong tích tắc.

Câu hỏi gợi mở (Trang 95 SGK): Yếu tố hình học nào cho ta biết quả bóng đã vượt qua vạch vôi hay chưa?

👉 Trả lời: Người ta xét hình chiếu vuông góc (hình chiếu song song theo phương thẳng đứng) của toàn bộ quả bóng tròn xuống mặt cỏ. Chỉ khi hình chiếu này nằm hoàn toàn phía sau mép trong của vạch vôi thì bàn thắng mới được công nhận!

Công nghệ Goal-line Một bàn thắng được ghi khi hình chiếu quả bóng vượt qua vạch vôi
1

Phép Chiếu Song Song

HĐ1 - Trang 95 SGK Khung cửa sổ hình tròn đổ bóng nắng

Một khung cửa sổ hình tròn có các chấn song tạo thành hình vuông $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Dưới ánh mặt trời, khung cửa sổ đổ bóng lên sàn nhà (Hình 4.56a):

  • Các tia sáng Mặt Trời là các đường thẳng đôi một song song với nhau.
  • Các đường nối mỗi điểm $A, B, C, D$ với bóng $A', B', C', D'$ đôi một song song.
  • Bóng của hình tròn đổ xuống sàn nhà là một hình elip!
Hình 4.56a Hình 4.56b
📐 Định Nghĩa Phép Chiếu Song Song:

Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ cắt mặt phẳng $(\alpha)$. Với mỗi điểm $M$ trong không gian, ta xác định điểm $M'$ như sau:

  • Nếu $M \in \Delta$ thì $M'$ là giao điểm của $(\alpha)$ và $\Delta$.
  • Nếu $M \notin \Delta$ thì qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $\Delta$, cắt $(\alpha)$ tại $M'$.

• Điểm $M'$ gọi là hình chiếu song song của điểm $M$ trên mặt phẳng $(\alpha)$ theo phương $\Delta$.

• Phép đặt tương ứng mỗi điểm $M$ với hình chiếu $M'$ của nó gọi là phép chiếu song song lên $(\alpha)$ theo phương $\Delta$.

• Mặt phẳng $(\alpha)$ gọi là mặt phẳng chiếu; đường thẳng $\Delta$ (hay phương của nó) gọi là phương chiếu.

• Cho hình $\mathcal{H}$. Tập hợp $\mathcal{H}'$ các hình chiếu $M'$ của tất cả các điểm $M \in \mathcal{H}$ gọi là hình chiếu của $\mathcal{H}$ qua phép chiếu song song.

Hình chiếu chữ A Hình chiếu của khung chữ "A" bằng dây thép trên mặt bàn
Bóng đổ người bán hàng rong Bóng đổ của người gánh hàng rong trên phố Hội An dưới ánh mặt trời
⚠️ Chú ý quan trọng:

Nếu một đường thẳng cùng phương với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó trên mặt phẳng chiếu chỉ là một điểm duy nhất!

Do đó, khi xét hình chiếu của đường thẳng, nếu không nói gì thêm, ta ngầm hiểu đường thẳng đó không cùng phương với phương chiếu.

Luyện tập 1 (SGK)

Cho hình hộp $ABCD.EFGH$ (Hình 4.58). Hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(DCGH)$ theo phương $BC$ chính là điểm $D$ (vì $AD // BC$ và $D \in (DCGH)$).

Ví dụ 1 (SGK) Lăng trụ tam giác

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ (Hình 4.57):

• Hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A'B'C')$ theo phương $CC'$ là điểm $A'$ (vì $AA' // CC'$).

• Với $M \in AB$, kẻ $MM' // AA' \implies M'$ thuộc $A'B'$. Vậy $M'$ là hình chiếu của $M$ trên $(A'B'C')$ theo phương $CC'$.

Hình 4.57
2

Tính Chất Của Phép Chiếu Song Song

TÍNH CHẤT BẢO TOÀN

Ba Tính Chất Cơ Bản Của Phép Chiếu Song Song

Tính chất 1

Bảo toàn tính thẳng hàng

Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng. Biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

Tính chất 2

Bảo toàn quan hệ song song

Biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau (khi cùng nằm trên mặt phẳng chiếu).

Tính chất 3

Bảo toàn tỉ số độ dài

Giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.

Hình 4.59: Tỉ số đoạn thẳng Hình 4.59: $\frac{AB}{CD} = \frac{A'B'}{C'D'}$ (khi cùng đường thẳng hoặc song song)
Ví dụ 2 (SGK) Hình bình hành

Hình chiếu song song của hình bình hành $ABCD$ là tứ giác $A'B'C'D'$ (Hình 4.60):

• Do $AB // CD \implies A'B' // C'D'$.

• Do $AD // BC \implies A'D' // B'C'$.

👉 Tứ giác $A'B'C'D'$ có các cạnh đối song song nên là hình bình hành!

Hình 4.60
Ví dụ 3 (SGK) Bảo toàn trung điểm

Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$ (Hình 4.62):

• Phép chiếu song song bảo toàn tỉ số $\frac{BM}{MC} = 1 \implies \frac{B'M'}{M'C'} = 1$.

• Suy ra $M'$ là trung điểm của $B'C'$.

👉 Biến đường trung tuyến $AM$ thành đường trung tuyến $A'M'$, biến trọng tâm thành trọng tâm!

Hình 4.62
3

Hình Biểu Diễn Của Một Hình Không Gian

📌 Định nghĩa: Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó (hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó).

Các hình biểu diễn phải tuân thủ nghiêm ngặt quy ước nét vẽ: nét liền (—) cho các cạnh nhìn thấy, nét đứt (- - -) cho các cạnh bị che khuất.

Hình trong không gian Hình biểu diễn trên mặt phẳng Quy tắc cần lưu ý
Tam giác bất kì (cân, đều, vuông) Một tam giác thường Phép chiếu không bảo toàn góc và độ dài, chỉ bảo toàn trung điểm và tỉ số đoạn thẳng.
Hình vuông, chữ nhật, thoi, hình bình hành Một hình bình hành Bảo toàn quan hệ song song của các cặp cạnh đối diện.
Hình thang Một hình thang Bắt buộc bảo toàn tỉ số hai đáy: $\frac{A'B'}{C'D'} = \frac{AB}{CD}$.
Hình tròn Một hình elip Hai đường kính vuông góc của hình tròn biểu diễn thành hai đường kính liên hợp của elip.
Hình chiếu Công nghệ Bản vẽ kĩ thuật (Công nghệ 8 & 10) Hình chiếu đứng, hình chiếu bằng, hình chiếu cạnh chính là hình chiếu song song vuông góc!
Ví dụ 4 (SGK)

Vẽ hình biểu diễn hình lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ đáy hình thang với $AB = 2CD$ (Hình 4.64).

Đáy $ABCD$ vẽ thành hình thang có đáy $AB$ dài gấp đôi đáy $CD$. Các mặt bên vẽ thành các hình bình hành.

Hình 4.64
Vận dụng 2 (SGK)

Vẽ chữ 3D dạng nổi (Chữ E, L, N, T...)

Sử dụng phép chiếu song song để tạo chiều sâu nổi khối sống động trong đồ hoạ typography.

Chữ 3D E
🌌

Em Có Biết? — Ảo Ảnh Quang Học & Phép Chiếu Phối Cảnh

Phép chiếu song song không tuân theo luật xa gần của mắt người (ở gần thì to, ở xa thì nhỏ). Do đó nó có thể tạo ra các vật thể bất khả thi (Impossible objects) đánh lừa thị giác người xem:

  • Thác nước Escher: Nước chảy vòng tròn khép kín nhưng dường như luôn chảy xuống dốc!
  • Cầu thang Penrose: Bậc thang bốn cạnh khép kín, đi mãi vẫn thấy đang leo lên!
🎨 Phép chiếu xuyên tâm (phối cảnh - Perspective): Để khắc phục, hoạ sĩ dùng phép chiếu từ một tâm $C$ (mắt người) lên mặt phẳng chiếu. Khi nhìn đường ray xe lửa, ta thấy hai đường ray song song dường như gặp nhau ở một điểm xa vô tận trên đường chân trời!
Thác nước Escher Thác nước Escher
Cầu thang Penrose Cầu thang Penrose
Đường ray xe lửa Hai đường ray song song dường như cắt nhau ở xa vô tận
Bài trước Bài tiếp