Bài 6: Cấp số cộng (Toán Lớp 11)

Chương II: Dãy số. Cấp số cộng và Cấp số nhân

Bài 6: Cấp số cộng

Toàn bộ lý thuyết chuẩn SGK Toán 11 KNTT: Định nghĩa cấp số cộng, công sai, số hạng tổng quát, công thức tính tổng $n$ số hạng đầu kèm bài toán thực tế xếp ghế nhà hát, giảm giá trị tài sản, tiền lương và góc công nghệ tính tổng $\sum$ bằng MTCT.

THUẬT NGỮ

Cấp số cộng
Công sai
Số hạng tổng quát
Tổng của $n$ số hạng đầu

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

Nhận biết một dãy số là cấp số cộng.
Giải thích và vận dụng công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.
Tính tổng của $n$ số hạng đầu của cấp số cộng.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số cộng.

TÌNH HUỐNG MỞ ĐẦU

Bài toán tính tổng số ghế trong nhà hát

Một nhà hát có $25$ hàng ghế với $16$ ghế ở hàng thứ nhất, $18$ ghế ở hàng thứ hai, $20$ ghế ở hàng thứ ba và cứ tiếp tục theo quy luật đó, tức là hàng sau nhiều hơn hàng liền trước nó $2$ ghế.

Hỏi tổng số ghế của nhà hát đó là bao nhiêu ghế?

(Bài toán này sẽ được giải trọn vẹn ở Ví dụ 5 sau khi ta xây dựng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số cộng).

Các hàng ghế xếp tăng dần trong nhà hát

1 Định nghĩa

HĐ1 Nhận biết cấp số cộng

Cho dãy số $(u_n)$ gồm tất cả các số tự nhiên lẻ, xếp theo thứ tự tăng dần.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức biểu diễn số hạng $u_n$ theo số hạng $u_{n-1}$.

Xem lời giải HĐ1

a) Năm số hạng đầu của dãy các số tự nhiên lẻ tăng dần là: $1, 3, 5, 7, 9$.
b) Ta thấy mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng thêm $2$ đơn vị:
$$u_2 = u_1 + 2,\; u_3 = u_2 + 2,\; u_4 = u_3 + 2,\; u_5 = u_4 + 2$$ Dự đoán công thức tổng quát: $u_n = u_{n-1} + 2$ với mọi $n \ge 2$.

Định nghĩa Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$.
Số $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.
Cấp số cộng $(u_n)$ với công sai $d$ được cho bởi hệ thức truy hồi:
$$u_n = u_{n-1} + d \quad \text{với } n \ge 2$$

Câu hỏi thảo luận (?): Dãy số không đổi $a, a, a, \ldots$ có phải là một cấp số cộng không?
Trả lời: Có. Dãy số không đổi $a, a, a, \ldots$ là một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1 = a$ và công sai $d = 0$.

Ví dụ 1 Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công sai $d = 3$. Hãy viết năm số hạng đầu của cấp số cộng này.

Xem lời giải

Năm số hạng đầu của cấp số cộng là:
• $u_1 = 2$
• $u_2 = u_1 + d = 2 + 3 = 5$
• $u_3 = u_2 + d = 5 + 3 = 8$
• $u_4 = u_3 + d = 8 + 3 = 11$
• $u_5 = u_4 + d = 11 + 3 = 14$

Ví dụ 2 Chứng minh một dãy số là cấp số cộng

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 5n - 1$. Chứng minh rằng $(u_n)$ là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của nó.

Xem lời giải

Ta có với mọi $n \ge 2$:
$$u_n - u_{n-1} = (5n - 1) - [5(n - 1) - 1] = 5n - 1 - (5n - 6) = 5$$ Do đó $(u_n)$ là một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1 = 5 \cdot 1 - 1 = 4$ và công sai $d = 5$.

Luyện tập 1 Chứng minh dãy số là cấp số cộng

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = -2n + 3$. Chứng minh rằng $(u_n)$ là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng này.

Xem lời giải Luyện tập 1

Ta xét hiệu hai số hạng liên tiếp với mọi $n \ge 2$:
$$u_n - u_{n-1} = (-2n + 3) - [-2(n - 1) + 3] = -2n + 3 - (-2n + 5) = -2$$ Vì hiệu $u_n - u_{n-1} = -2$ là hằng số không đổi với mọi $n \ge 2$, nên $(u_n)$ là một cấp số cộng.
• Số hạng đầu: $u_1 = -2(1) + 3 = 1$.
• Công sai: $d = -2$.

2 Số hạng tổng quát

HĐ2 Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$.
a) Tính các số hạng $u_2, u_3, u_4, u_5$ theo $u_1$ và $d$.
b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát $u_n$ theo $u_1$ và $d$.

Xem lời giải HĐ2

a) Ta có:
• $u_2 = u_1 + d$
• $u_3 = u_2 + d = (u_1 + d) + d = u_1 + 2d$
• $u_4 = u_3 + d = (u_1 + 2d) + d = u_1 + 3d$
• $u_5 = u_4 + d = (u_1 + 3d) + d = u_1 + 4d$
b) Dự đoán: Số hạng thứ $n$ có hệ số của $d$ là $n - 1$. Do đó:
$$u_n = u_1 + (n - 1)d$$

Định lí: Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

Nếu cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát $u_n$ của nó được xác định theo công thức:

$$u_n = u_1 + (n - 1)d \quad (n \ge 2)$$

Ví dụ 3 Tìm 5 số hạng đầu và số hạng thứ 100

Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ $100$ của cấp số cộng $(u_n)$: $10, 5, \ldots$

Xem lời giải

Cấp số cộng này có số hạng đầu $u_1 = 10$ và công sai $d = 5 - 10 = -5$.
• Do đó năm số hạng đầu là: $10, 5, 0, -5, -10$.
• Số hạng thứ $100$ là:
$$u_{100} = u_1 + (100 - 1)d = 10 + 99 \cdot (-5) = 10 - 495 = -485$$

Ví dụ 4 Tìm số hạng khi biết hai số hạng bất kì

Số hạng thứ $10$ của một cấp số cộng $(u_n)$ bằng $48$ và số hạng thứ $18$ bằng $88$. Tìm số hạng thứ $100$ của cấp số cộng đó.

Xem lời giải

Giả sử $u_1$ là số hạng đầu và $d$ là công sai của cấp số cộng đó. Ta có hệ phương trình:
$$\begin{cases} u_{10} = u_1 + 9d = 48 \\ u_{18} = u_1 + 17d = 88 \end{cases}$$ Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, ta được:
$$8d = 40 \Rightarrow d = 5 \Rightarrow u_1 = 48 - 9 \cdot 5 = 3$$ Vậy số hạng thứ $100$ của cấp số cộng này là:
$$u_{100} = u_1 + 99d = 3 + 99 \cdot 5 = 498$$

Luyện tập 2 Viết số hạng tổng quát dưới dạng chuẩn

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 4n - 3$. Chứng minh rằng $(u_n)$ là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng này. Từ đó viết số hạng tổng quát $u_n$ dưới dạng $u_n = u_1 + (n - 1)d$.

Xem lời giải Luyện tập 2

• Với mọi $n \ge 2$, ta có: $u_n - u_{n-1} = (4n - 3) - [4(n - 1) - 3] = 4n - 3 - (4n - 7) = 4$.
Do đó $(u_n)$ là một cấp số cộng.
• Số hạng đầu: $u_1 = 4(1) - 3 = 1$.
• Công sai: $d = 4$.
• Dạng viết chuẩn: $u_n = 1 + (n - 1)4$.

3 Tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số cộng

HĐ3 Xây dựng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$. Để tính tổng của $n$ số hạng đầu: $$S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_{n-1} + u_n$$ hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:
a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng $S_n$ theo số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$.
b) Viết $S_n$ theo thứ tự ngược lại: $S_n = u_n + u_{n-1} + \ldots + u_2 + u_1$ và sử dụng kết quả ở phần a) để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng này theo $u_1$ và $d$.
c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b) để tính $S_n$ theo $u_1$ và $d$.

Xem lời giải HĐ3

a) $S_n = u_1 + (u_1 + d) + (u_1 + 2d) + \ldots + [u_1 + (n - 1)d]$.
b) $S_n = [u_1 + (n - 1)d] + [u_1 + (n - 2)d] + \ldots + (u_1 + d) + u_1$.
c) Cộng từng vế hai biểu thức:
$$2S_n = \underbrace{[2u_1 + (n - 1)d] + [2u_1 + (n - 1)d] + \ldots + [2u_1 + (n - 1)d]}_{n \text{ số hạng}} = n[2u_1 + (n - 1)d]$$ $$\Rightarrow S_n = \dfrac{n}{2}[2u_1 + (n - 1)d]$$

Định lí: Tổng của $n$ số hạng đầu của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $(u_n)$ với công sai $d$. Đặt $S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n$. Khi đó:

$$S_n = \dfrac{n}{2}[2u_1 + (n - 1)d]$$

Chú ý: Vì $u_n = u_1 + (n - 1)d$, ta có thể viết tổng $S_n$ dưới dạng tương đương rất tiện lợi:

$$S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$$

Ví dụ 5 Giải bài toán ở tình huống mở đầu

Tính tổng số ghế của nhà hát có $25$ hàng ghế, với $16$ ghế ở hàng thứ nhất và mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước $2$ ghế.

Xem lời giải

Số ghế ở mỗi hàng của nhà hát lập thành một cấp số cộng gồm $25$ số hạng, với số hạng đầu $u_1 = 16$ và công sai $d = 2$.
Tổng các số hạng này là:
$$S_{25} = u_1 + u_2 + \ldots + u_{25} = \dfrac{25}{2}[2u_1 + (25 - 1)d] = \dfrac{25}{2}[2 \cdot 16 + 24 \cdot 2] = 1000$$ Vậy nhà hát đó có tổng cộng $1000$ ghế.

Ví dụ 6 Tìm số lượng số hạng đầu khi biết tổng

Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng $2, 5, 8, \ldots$ để được kết quả bằng $345$?

Xem lời giải

Cấp số cộng này có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công sai $d = 3$. Gọi $n$ là số các số hạng đầu cần lấy tổng, ta có:
$$345 = S_n = \dfrac{n}{2}[2u_1 + (n - 1)d] = \dfrac{n}{2}[2 \cdot 2 + (n - 1) \cdot 3] = \dfrac{n}{2}(3n + 1)$$ $$\Rightarrow 3n^2 + n - 690 = 0$$ Giải phương trình bậc hai này ta được: $n = -\dfrac{230}{15}$ (loại) và $n = 15$ (nhận).
Vậy phải lấy tổng của $15$ số hạng đầu của cấp số cộng đã cho để được tổng bằng $345$.

Vận dụng

Bài toán tiền lương tích lũy của kỹ sư công nghệ

Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là $100$ triệu đồng một năm. Công ty sẽ tăng thêm lương cho anh Nam mỗi năm là $20$ triệu đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau $10$ năm làm việc cho công ty đó.

Xem lời giải Vận dụng

Mức lương của anh Nam ở mỗi năm làm việc lập thành một cấp số cộng gồm $10$ số hạng, với:
• Số hạng đầu (lương năm thứ nhất): $u_1 = 100$ (triệu đồng).
• Công sai (mức tăng lương mỗi năm): $d = 20$ (triệu đồng).
Tổng số tiền lương anh Nam nhận được sau $10$ năm làm việc chính là tổng của $10$ số hạng đầu $S_{10}$:
$$S_{10} = \dfrac{10}{2}[2u_1 + (10 - 1)d] = 5 \cdot [2 \cdot 100 + 9 \cdot 20] = 5 \cdot (200 + 180) = 5 \cdot 380 = 1900 \text{ (triệu đồng)}$$ Vậy tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau $10$ năm là $1900$ triệu đồng (tức là $1{,}9$ tỉ đồng).

Góc công nghệ: Kí hiệu tổng $\sum$ và cách tính tổng bằng máy tính cầm tay

Cho dãy số $(u_n)$. Tổng $n$ số hạng đầu của dãy số này: $S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n$ được kí hiệu ngắn gọn như sau: $$S_n = \sum_{k=1}^n u_k \quad (\text{kí hiệu } \sum \text{ đọc là xích ma}).$$

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính tổng $n$ số hạng liên tiếp của một dãy số khi biết công thức của số hạng tổng quát:

Ví dụ thực hành: Tính tổng $35$ số hạng đầu của cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = 3n + 1$.

Bước 1: Bấm phím SHIFT $\to$ x (hoặc phím có biểu tượng $\sum$). Giao diện màn hình hiện kí hiệu $\sum$ với biến mặc định là $x$ (ở đây hiểu là $n$).
Bước 2: Nhập công thức số hạng tổng quát 3x + 1 vào trong ngoặc tròn.
Bước 3: Nhấn phím $\downarrow$ để nhập giá trị đầu của $x$ là 1.
Bước 4: Nhấn phím $\uparrow$ để nhập giá trị cuối của $x$ là 35.
Bước 5: Nhấn phím = để nhận kết quả là $1925$.

1. Màn hình nhập $\sum$

2. Kết quả tính tổng 1925

Bài 6: Cấp số cộng

Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Cấp số cộng (Toán 11 KNTT)