Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Lý thuyết trọng tâm Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (Toán 11 - Kết nối tri thức). Định nghĩa đạo hàm tại một điểm, đạo hàm trên khoảng, ý nghĩa vật lý (vận tốc tức thời, cường độ tức thời), ý nghĩa hình học (hệ số góc tiếp tuyến, phương trình tiếp tuyến) và ứng dụng thực tiễn trong thiết kế cầu vượt, đường ray tàu lượn siêu tốc và kinh tế học.
- Thuật ngữ: Đạo hàm tại một điểm, Đạo hàm trên một khoảng, Hệ số góc của tiếp tuyến, Vận tốc tức thời, Tốc độ biến đổi tức thời.
- Kiến thức, kĩ năng: Nhận biết bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm; Tính đạo hàm bằng định nghĩa; Thiết lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm; Vận dụng đạo hàm giải quyết các bài toán chuyển động, kỹ thuật và kinh tế thực tiễn.
Tình huống mở đầu: Vận tốc rơi từ toà tháp Landmark 81
Nếu một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sân thượng của toà nhà Landmark 81 (Thành phố Hồ Chí Minh) cao $461{,}3\text{ m}$ xuống mặt đất.
Câu hỏi đặt ra: Có tính được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất hay không? (Bỏ qua sức cản của không khí).
Khái niệm đạo hàm mà chúng ta học trong bài này sẽ cung cấp công cụ toán học chính xác để xác định vận tốc tức thời đó.
Hình 9.1. Toà nhà Landmark 81
1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng
Hoạt động 1: Chuyển động thẳng biến đổi
Một vật di chuyển trên một đường thẳng. Quãng đường $s$ của chuyển động là một hàm số của thời gian $t$, $s = s(t)$ (gọi là phương trình của chuyển động).
a) Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ $t_0$ đến $t$ là:
$$\bar{v} = \dfrac{s(t) - s(t_0)}{t - t_0}$$
b) Khi thời điểm $t$ càng gần $t_0$ (tức là $t \to t_0$), tỉ số trên cho ta vận tốc tại chính thời điểm $t_0$, gọi là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t_0$:
$$v(t_0) = \lim_{t \to t_0} \dfrac{s(t) - s(t_0)}{t - t_0}$$
Hình 9.2. Vị trí vật tại $t_0$ và $t$
b) Cường độ tức thời của dòng điện
Hoạt động 2: Điện lượng truyền qua tiết diện dây dẫn
Điện lượng $Q$ truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian $t$, $Q = Q(t)$.
- Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ $t_0$ đến $t$: $\bar{I} = \dfrac{Q(t) - Q(t_0)}{t - t_0}$.
- Giới hạn $\lim_{t \to t_0} \dfrac{Q(t) - Q(t_0)}{t - t_0} = I(t_0)$ cho biết cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm $t_0$.
Nhận xét: Rất nhiều bài toán trong Vật lí, Hóa học, Sinh học, Kinh tế,... đều đưa đến việc tìm giới hạn hữu hạn dạng: $$\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$ Giới hạn này dẫn đến một khái niệm toán học trung tâm: ĐẠO HÀM.
2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và điểm $x_0 \in (a; b)$.
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$, kí hiệu là $f'(x_0)$ (hoặc $y'(x_0)$).
Quy trình 3 bước tính đạo hàm $f'(x_0)$ bằng định nghĩa:
- Bước 1: Tính hiệu số $f(x) - f(x_0)$.
- Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số $\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ với $x \in (a; b), x \ne x_0$.
- Bước 3: Tìm giới hạn $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$.
Ví dụ 1 (SGK trang 82): Tính đạo hàm của hàm số $y = f(x) = x^2 + 2x$ tại điểm $x_0 = 1$
Lời giải:
• Ta có: $f(1) = 1^2 + 2(1) = 3$.
• Xét hiệu: $f(x) - f(1) = x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$.
• Với $x \ne 1$, tỉ số: $\dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1} = x + 3$.
• Giới hạn: $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 3) = 1 + 3 = 4$.
Vậy $f'(1) = 4$.
Chú ý: Sử dụng số gia $h = x - x_0$
Đặt $h = x - x_0$ (gọi là số gia của biến số tại $x_0$), khi đó $x \to x_0 \iff h \to 0$ và $x = x_0 + h$. Đạo hàm có thể viết tương đương là:
Luyện tập 1 (SGK trang 83): Tính đạo hàm của hàm số $y = -x^2 + 2x + 1$ tại điểm $x_0 = -1$
Lời giải:
Ta có: $f(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 - 2 + 1 = -2$.
Với $x \ne -1$, ta lập tỉ số:
$$\dfrac{f(x) - f(-1)}{x - (-1)} = \dfrac{-x^2 + 2x + 1 - (-2)}{x + 1} = \dfrac{-x^2 + 2x + 3}{x + 1} = \dfrac{-(x + 1)(x - 3)}{x + 1} = -(x - 3) = -x + 3.$$Tính giới hạn:
$$f'(-1) = \lim_{x \to -1} \dfrac{f(x) - f(-1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} (-x + 3) = -(-1) + 3 = 4.$$Vậy $f'(-1) = 4$.
3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Định nghĩa đạo hàm trên khoảng:
Hàm số $y = f(x)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$ nếu nó có đạo hàm $f'(x)$ tại mọi điểm $x$ thuộc khoảng đó, kí hiệu là $y' = f'(x)$.
Các đạo hàm cơ bản đầu tiên:
- Đạo hàm của hàm hằng: $(c)' = 0$ (với $c$ là hằng số).
- Đạo hàm của hàm đồng nhất: $(x)' = 1$.
- Đạo hàm của hàm bậc hai: $(cx^2)' = 2cx$ (với $c$ là hằng số). Đặc biệt: $(x^2)' = 2x$.
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm:
Nếu phương trình chuyển động của vật là $s = s(t)$ thì vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$ chính là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: $$v(t) = s'(t)$$
Ví dụ 3 (SGK trang 84): Giải quyết triệt để bài toán toà nhà Landmark 81
Lời giải:
• Phương trình chuyển động rơi tự do của quả bóng: $s = f(t) = \dfrac{1}{2}gt^2$ ($g \approx 9{,}8\text{ m/s}^2$).
$\implies s = f(t) = 4{,}9t^2$.
• Vận tốc của quả bóng tại thời điểm $t$ là: $v(t) = f'(t) = (4{,}9t^2)' = 9{,}8t$.
• Vì toà nhà cao $461{,}3\text{ m}$ nên quả bóng chạm đất tại thời điểm $t_1$ thỏa mãn:
$f(t_1) = 461{,}3 \iff 4{,}9 t_1^2 = 461{,}3 \iff t_1 = \sqrt{\dfrac{461{,}3}{4{,}9}} \approx 9{,}70\text{ (giây)}$.
• Vận tốc của quả bóng khi chạm đất là:
$v(t_1) = 9{,}8 \times \sqrt{\dfrac{461{,}3}{4{,}9}} \approx 95{,}1\text{ m/s}$ (tương đương hơn $342\text{ km/h}$!).
Luyện tập 2 (SGK trang 84): Tìm đạo hàm của các hàm số
a) $y = x^2 + 1 \implies y' = (x^2)' + (1)' = 2x + 0 = 2x$.
b) $y = kx + c$ (với $k, c$ là hằng số) $\implies y' = (kx)' + (c)' = k(1) + 0 = k$.
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $(C)$ và điểm $P(x_0; f(x_0)) \in (C)$. Xét điểm di động $Q(x; f(x)) \in (C)$ với $x \ne x_0$.
• Đường thẳng $PQ$ gọi là một cát tuyến của $(C)$, có hệ số góc là: $$k_{PQ} = \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$
• Khi $x \to x_0$, điểm $Q$ di chuyển dọc theo $(C)$ dần tới điểm $P$. Khi đó, nếu cát tuyến $PQ$ tiến tới vị trí giới hạn là đường thẳng $Pt$ thì $Pt$ được gọi là tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $P$ ($P$ gọi là tiếp điểm).
Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $P(x_0; f(x_0))$ là:
b) Phương trình tiếp tuyến
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ TẠI MỘT ĐIỂM
Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_0$ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm $P(x_0; y_0)$ là:
(trong đó $y_0 = f(x_0)$ là tung độ của tiếp điểm).
Ví dụ 5 (SGK trang 85):
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $(P): y = 3x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.
• $y_0 = f(1) = 3(1)^2 = 3$.
• $y' = 6x \implies f'(1) = 6(1) = 6$.
• Phương trình tiếp tuyến:
$y - 3 = 6(x - 1) \iff y = 6x - 3$.
Luyện tập 4 (SGK trang 85):
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $(P): y = -2x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = -1$.
• $y_0 = f(-1) = -2(-1)^2 = -2$.
• $y' = -4x \implies f'(-1) = -4(-1) = 4$.
• Phương trình tiếp tuyến:
$y - (-2) = 4(x - (-1)) \iff y = 4x + 2$.
Vận dụng thực tiễn: Thiết kế độ dốc cầu vượt giao thông hình parabol
Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm $A, B$ cách nhau $400\text{ m}$. Độ dốc của mặt cầu không vượt quá $10^\circ$ (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Lời giải bài toán thiết kế cầu:
• Chọn hệ trục toạ độ sao cho đỉnh cầu là gốc toạ độ $O(0; 0)$ và mặt cắt cầu có phương trình: $y = -ax^2$ ($a > 0$), với $-200 \le x \le 200$.
• Hệ số góc tiếp tuyến xác định độ dốc tại điểm có hoành độ $x$ là: $k = y' = -2ax$.
• Độ dốc lớn nhất xảy ra tại hai chân cầu $x = \pm 200$, do đó: $|k_{\max}| = 2a(200) = 400a$.
• Vì độ dốc không quá $10^\circ$ nên: $400a \le \tan 10^\circ \implies a \le \dfrac{\tan 10^\circ}{400} \approx 0{,}0004408$.
• Chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là:
$h = |y(\pm 200)| = a(200)^2 = 40\,000a \le 40\,000 \times \dfrac{\tan 10^\circ}{400} = 100 \tan 10^\circ \approx 17{,}6\text{ m}$ (hoặc $35{,}3\text{ m}$ nếu xét độ dài toàn nhịp).
5. Tốc độ biến đổi tức thời và Ứng dụng trong Kinh tế học ("Em có biết?")
Chi phí biên và Lợi nhuận biên trong Quản trị kinh doanh:
Trong kinh tế học, nếu $C(x)$ là tổng chi phí khi sản xuất $x$ đơn vị sản phẩm và $R(x)$ là doanh thu tương ứng, thì hàm lợi nhuận là $P(x) = R(x) - C(x)$.
- Chi phí biên (Marginal Cost): $mc(x) = C'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta C}{\Delta x} \approx C(x + 1) - C(x)$. Đây là chi phí ước lượng để sản xuất thêm đúng 1 đơn vị sản phẩm tiếp theo.
- Lợi nhuận biên (Marginal Profit): $P'(x) = R'(x) - C'(x)$. Doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận tại mức sản lượng $x_0$ mà tại đó $P'(x_0) = 0 \iff R'(x_0) = C'(x_0)$ (doanh thu biên bằng chi phí biên).
Ứng dụng tiếp tuyến nối êm ray tàu lượn
Tổng kết cốt lõi Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Định nghĩa đạo hàm:
$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$
Ý nghĩa vật lý:
Vận tốc tức thời: $v(t) = s'(t)$.
Cường độ tức thời: $I(t) = Q'(t)$.
Ý nghĩa hình học:
Hệ số góc tiếp tuyến: $k = f'(x_0)$.
Phương trình tiếp tuyến:
$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và điểm $x_0 \in (a; b)$. Đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ (nếu tồn tại) được định nghĩa là:
Theo định nghĩa SGK Toán 11 (KNTT), nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại $x_0$, kí hiệu là $f'(x_0)$.
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại tiếp điểm $P(x_0; f(x_0))$ bằng:
Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $P(x_0; f(x_0))$ chính bằng đạo hàm của hàm số tại điểm đó, tức là $k = f'(x_0)$.
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_0$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm $M(x_0; y_0)$ (với $y_0 = f(x_0)$) là:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại tiếp điểm $M(x_0; y_0)$ có dạng chuẩn: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.
Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = x^2 - x$ tại điểm $x_0 = 1$ bằng định nghĩa.
Ta có: $f(1) = 1^2 - 1 = 0$.
Với $x \ne 1$, xét tỉ số: $\dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \dfrac{x^2 - x - 0}{x - 1} = \dfrac{x(x - 1)}{x - 1} = x$.
Tính giới hạn: $f'(1) = \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} x = 1$.
Đạo hàm của hàm số $f(x) = -x^3$ tại điểm $x_0 = -1$ có giá trị bằng:
Ta có: $f(-1) = -(-1)^3 = 1$.
Với $x \ne -1$, xét tỉ số:
$$\dfrac{f(x) - f(-1)}{x - (-1)} = \dfrac{-x^3 - 1}{x + 1} = \dfrac{-(x^3 + 1)}{x + 1} = \dfrac{-(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x + 1} = -(x^2 - x + 1).$$Tính giới hạn:
$$f'(-1) = \lim_{x \to -1} [-(x^2 - x + 1)] = -[(-1)^2 - (-1) + 1] = -(1 + 1 + 1) = -3.$$Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $y = x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 3$ là:
Ta có: $y' = (x^2)' = 2x$.
Hệ số góc tiếp tuyến tại $x_0 = 3$ là: $k = y'(3) = 2 \times 3 = 6$.
Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 4 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Phương trình tiếp tuyến của parabol $y = -x^2 + 4x$ tại tiếp điểm có hoành độ $x_0 = 1$ là:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ mặt đất với độ cao sau $t$ giây được cho bởi công thức $h(t) = 19{,}6t - 4{,}9t^2$ (mét). Tốc độ của vật khi nó chạm đất là:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Có bao nhiêu tiếp tuyến của parabol $y = -x^2 + 4x$ tại các điểm có tung độ $y_0 = 0$?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Một đường ray tàu lượn siêu tốc có dạng parabol $y = ax^2 + bx + c$ nối êm với đoạn dốc lên $L_1$ (tiếp xúc tại $P(0; 0)$ với hệ số góc $0{,}5$) và đoạn dốc xuống $L_2$ (tiếp xúc tại điểm $Q$ với hệ số góc $-0{,}75$). Biết khoảng cách theo phương ngang giữa $P$ và $Q$ là $40\text{ m}$. Chênh lệch độ cao giữa hai điểm $P$ và $Q$ bằng:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!