Bài 33: Đạo hàm cấp hai
Thuật ngữ:
Đạo hàm cấp hai, Gia tốc tức thời.
Kiến thức, kĩ năng:
Nhận biết khái niệm đạo hàm cấp hai của một hàm số; Tính đạo hàm cấp hai của một số hàm số cơ bản; Vận dụng đạo hàm cấp hai để tính gia tốc tức thời trong các bài toán chuyển động thực tiễn.
Tình huống mở đầu: Gia tốc tức thời của con lắc lò xo
Chuyển động của một vật gắn trên con lắc lò xo (khi bỏ qua ma sát và sức cản của không khí) được cho bởi phương trình dao động điều hoà:
Câu hỏi đặt ra: Tìm gia tốc tức thời của vật tại thời điểm $t = 5\text{ giây}$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Khái niệm đạo hàm cấp hai mà chúng ta học trong bài này chính là chìa khoá toán học để xác định đại lượng gia tốc tức thời này.
Hình 9.9. Con lắc lò xo
1. Khái niệm đạo hàm cấp hai
a) Gọi $g(x)$ là đạo hàm của hàm số $y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$. Tìm $g(x)$.
Giải: Áp dụng đạo hàm hàm hợp $(\sin u)' = u' \cos u$:
$$g(x) = y' = \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)' \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right).$$
b) Tính đạo hàm của hàm số $y = g(x)$.
Giải: Lấy đạo hàm tiếp của $g(x)$:
$$g'(x) = \left[2\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\right]' = 2 \left[-\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)' \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\right] = -4\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right).$$
Giả sử hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại mỗi điểm $x \in (a; b)$.
Nếu hàm số $y' = f'(x)$ lại có đạo hàm tại $x$ thì ta gọi đạo hàm của $y'$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f(x)$ tại $x$, kí hiệu là:
Đạo hàm $y' = f'(x)$ còn được gọi là đạo hàm cấp một của hàm số $y = f(x)$.
Ví dụ 1 (SGK trang 95):
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = x^2 + e^{2x - 1}$. Từ đó tính $y''(0)$.
Lời giải:
• Đạo hàm cấp một: $$y' = (x^2)' + (e^{2x - 1})' = 2x + (2x - 1)' \cdot e^{2x - 1} = 2x + 2e^{2x - 1}.$$
• Đạo hàm cấp hai: $$y'' = (y')' = (2x + 2e^{2x - 1})' = 2 + 2(2x - 1)' \cdot e^{2x - 1} = 2 + 4e^{2x - 1}.$$
• Thay $x = 0$ vào $y''$: $$y''(0) = 2 + 4e^{2(0) - 1} = 2 + 4e^{-1} = 2 + \frac{4}{e}.$$
Luyện tập 1 (SGK trang 95):
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) $y = x e^{2x}$; b) $y = \ln(2x + 3)$.
Lời giải:
a) $y = x e^{2x}$:
$y' = (x)' e^{2x} + x(e^{2x})' = 1 \cdot e^{2x} + x(2e^{2x}) = (2x + 1)e^{2x}$.
$y'' = (2x+1)' e^{2x} + (2x+1)(e^{2x})' = 2e^{2x} + (2x+1)(2e^{2x}) = (4x + 4)e^{2x} = 4(x + 1)e^{2x}$.
b) $y = \ln(2x + 3)$ (điều kiện $x > -\frac{3}{2}$):
$y' = \frac{(2x+3)'}{2x+3} = \frac{2}{2x+3} = 2(2x+3)^{-1}$.
$y'' = 2 \left[-(2x+3)^{-2} \cdot (2x+3)'\right] = 2 \cdot \frac{-2}{(2x+3)^2} = -\frac{4}{(2x+3)^2}$.
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai: Gia tốc tức thời
Tỉ số $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ gọi là gia tốc trung bình trong khoảng thời gian $\Delta t$.
Giới hạn của gia tốc trung bình khi $\Delta t \to 0$ được gọi là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t$, kí hiệu là $a(t)$: $$a(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t} = v'(t).$$
Xét một chuyển động có phương trình li độ $s = 4\cos(2\pi t)$.
a) Vận tốc tức thời: $v(t) = s'(t) = -8\pi \sin(2\pi t)$.
b) Gia tốc tức thời: $a(t) = v'(t) = [s'(t)]' = -16\pi^2 \cos(2\pi t)$. Nhận thấy $a(t) = s''(t)$.
Một chuyển động có phương trình $s = f(t)$ thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số $f(t)$ chính là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t$:
Ví dụ 2 (SGK trang 96): Giải bài toán trong tình huống mở đầu
Phương trình dao động của con lắc lò xo là: $x(t) = 4\cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{3}\right)\text{ (cm)}$.
• Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$ là:
$$v(t) = x'(t) = -\left(2\pi t + \frac{\pi}{3}\right)' \cdot 4\sin\left(2\pi t + \frac{\pi}{3}\right) = -8\pi \sin\left(2\pi t + \frac{\pi}{3}\right)\text{ (cm/s)}.$$
• Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$ là: $$a(t) = v'(t) = x''(t) = -8\pi \left(2\pi t + \frac{\pi}{3}\right)' \cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{3}\right) = -16\pi^2 \cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{3}\right)\text{ (cm/s}^2).$$
• Tại thời điểm $t = 5\text{ giây}$, gia tốc của vật là: $$a(5) = -16\pi^2 \cos\left(10\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -16\pi^2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -16\pi^2 \cdot \frac{1}{2} = -8\pi^2 \approx -8 \cdot (3{,}14159)^2 \approx -79\text{ (cm/s}^2).$$
Vận dụng (SGK trang 96): Gia tốc của chuyển động thẳng
Một vật chuyển động thẳng có phương trình quãng đường $s(t) = 2t^2 + \frac{1}{2}t^4$ ($s$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây).
Tìm gia tốc của vật tại thời điểm $t = 4\text{ giây}$.
Lời giải:
• Vận tốc tức thời của vật: $$v(t) = s'(t) = \left(2t^2 + \frac{1}{2}t^4\right)' = 4t + 2t^3\text{ (m/s)}.$$
• Gia tốc tức thời của vật: $$a(t) = s''(t) = (4t + 2t^3)' = 4 + 6t^2\text{ (m/s}^2).$$
• Tại thời điểm $t = 4\text{ giây}$, gia tốc của vật là: $$a(4) = 4 + 6(4)^2 = 4 + 6 \cdot 16 = 4 + 96 = 100\text{ (m/s}^2).$$