Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit (Toán 11 KNTT)
Nắm vững phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit cơ bản, phương pháp đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, lôgarit hóa/mũ hóa, xử lý điều kiện xác định và ứng dụng thực tế chuẩn SGK Toán 11.
BÀI 21: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
Nắm vững phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit cơ bản; kĩ thuật đưa về cùng cơ số, mũ hoá, lôgarit hoá và các mô hình toán học giải quyết bài toán thực tiễn.
Tình huống thực tiễn mở đầu: Khấu hao giá trị xe ô tô
Giả sử giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc ô tô sau $t$ năm sử dụng được mô hình hoá bằng công thức:
❓ Câu hỏi: Sau bao nhiêu năm sử dụng thì giá trị của chiếc ô tô đó còn lại không quá 300 triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
👉 Để trả lời câu hỏi này, ta cần giải bất phương trình mũ: $780 \cdot (0{,}905)^t \le 300$. Ta sẽ tìm thấy lời giải chuẩn mực ở Mục 3!
Phương Trình Mũ
Xét phương trình: $2^{x+1} = \dfrac{1}{4}$.
$\dfrac{1}{4} = 2^{-2} \implies 2^{x+1} = 2^{-2}$.
$x + 1 = -2 \iff x = -3$.
- Nếu $b > 0$, phương trình có nghiệm duy nhất: $x = \log_a b$.
- Nếu $b \le 0$, phương trình vô nghiệm (vì $a^x > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$).
Khi $b > 0$, đường thẳng $y = b$ luôn cắt đồ thị hàm số mũ $y = a^x$ tại đúng 1 điểm duy nhất có hoành độ $x = \log_a b$.
• Lôgarit hoá hai vế: $a^{f(x)} = b^{g(x)} \iff f(x) = \log_a [b^{g(x)}] = g(x) \cdot \log_a b$.
Giải phương trình: $3^{x+1} = \dfrac{1}{3^{1-2x}}$.
Phương trình trở thành: $3^{x+1} = 3^{2x-1}$
$\iff x + 1 = 2x - 1 \iff x = 2$.
Vậy nghiệm duy nhất là $x = 2$.
Giải phương trình: $10^{x-1} = 2\,022$.
$x - 1 = \log(2\,022)$
$\iff x = 1 + \log(2\,022)$.
Vậy nghiệm duy nhất là $x = 1 + \log(2\,022)$.
b) $2e^{2x} = 5 \iff e^{2x} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5 \iff 2x = \ln(2{,}5) \iff x = \dfrac{1}{2}\ln(2{,}5) \approx 0{,}458$.
Phương Trình Lôgarit
Xét phương trình: $2\log_2 x = -3$.
$\log_2 x = -\dfrac{3}{2}$.
$x = 2^{-3/2} = \dfrac{1}{\sqrt{2^3}} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$.
Phương trình lôgarit cơ bản $\log_a x = b$ luôn có nghiệm duy nhất: $x = a^b$.
Với mọi giá trị $b \in \mathbb{R}$, đường thẳng $y = b$ luôn cắt đồ thị hàm số lôgarit $y = \log_a x$ tại đúng 1 điểm duy nhất có hoành độ $x = a^b$.
• Nếu $u > 0, v > 0$ và $0 < a \ne 1$ thì: $\log_a u = \log_a v \iff u = v$.
Giải phương trình: $4 + 3\log(2x) = 16$.
$3\log(2x) = 12 \iff \log(2x) = 4$
$\iff 2x = 10^4 = 10\,000 \iff x = 5\,000$ (thỏa mãn).
Vậy nghiệm duy nhất là $x = 5\,000$.
Giải phương trình: $\log_3(x+1) = \log_3(x^2-1)$.
Phương trình trở thành: $x + 1 = x^2 - 1$
$\iff x^2 - x - 2 = 0 \iff \left[\begin{array}{l} x = -1 \text{ (loại)} \\ x = 2 \text{ (thỏa mãn)} \end{array}\right.$
Vậy nghiệm duy nhất là $x = 2$.
b) $\log_2(x+2) + \log_2(x-1) = 1$ (ĐK: $x > 1$):
$\iff \log_2[(x+2)(x-1)] = 1 \iff x^2 + x - 2 = 2 \iff x^2 + x - 4 = 0 \iff x = \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ (thỏa mãn $x > 1$).
Bất Phương Trình Mũ
Cho đồ thị hàm số $y = 2^x$ và đường thẳng $y = 4$ như Hình 6.7.
Tìm khoảng giá trị của $x$ mà đồ thị hàm số $y = 2^x$ nằm phía trên đường thẳng $y = 4$, từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình $2^x > 4$.
- Nếu $b \le 0$: Tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$ (luôn đúng).
- Nếu $b > 0$, bất phương trình tương đương với $a^x > a^{\log_a b}$:
- Với $a > 1$: Bất phương trình cùng chiều $\implies$ $x > \log_a b$.
- Với $0 < a < 1$: Bất phương trình ĐẢO CHIỀU $\implies$ $x < \log_a b$.
$a^u > a^v \iff u > v$
$a^u > a^v \iff u < v$
Giải bất phương trình: $16^x > \dfrac{1}{8}$.
$(2^4)^x > 2^{-3} \iff 2^{4x} > 2^{-3}$.
Vì cơ số $2 > 1$ nên giữ nguyên chiều:
$4x > -3 \iff x > -\dfrac{3}{4}$.
Tập nghiệm: $S = \left(-\dfrac{3}{4}; +\infty\right)$.
Giá trị xe ô tô: $V(t) \le 300$ triệu đồng.
Vì cơ số $0{,}905 < 1$ nên đảo chiều BPT:
$t \ge \log_{0{,}905}\left(\dfrac{5}{13}\right) \approx 9{,}6$ năm.
Vậy sau khoảng 10 năm sử dụng, giá trị xe còn lại không quá 300 triệu đồng.
b) $3 \cdot 2^{x+1} \le 1 \iff 2^{x+1} \le \dfrac{1}{3} \iff x + 1 \le \log_2\left(\dfrac{1}{3}\right) = -\log_2 3 \iff x \le -1 - \log_2 3$.
Bất Phương Trình Lôgarit
Cho đồ thị các hàm số $y = \log_2 x$ và $y = 2$ như Hình 6.8.
Tìm khoảng giá trị của $x$ mà đồ thị hàm số $y = \log_2 x$ nằm phía trên đường thẳng $y = 2$, từ đó suy ra tập nghiệm của $\log_2 x > 2$.
- Nếu $a > 1$: Giữ nguyên chiều $\implies$ $x > a^b$.
- Nếu $0 < a < 1$: ĐẢO CHIỀU và kết hợp điều kiện $x > 0$ $\implies$ $0 < x < a^b$.
$\log_a u > \log_a v \iff u > v > 0$
$\log_a u > \log_a v \iff 0 < u < v$
Giải bất phương trình: $\log_{0{,}3}(x+1) \le \log_{0{,}3}(2x-1)$.
Vì cơ số $0{,}3 < 1$ nên bất phương trình đảo chiều thành:
$x + 1 \ge 2x - 1 \iff x \le 2$.
Kết hợp với điều kiện xác định, ta được nghiệm của bất phương trình là: $\dfrac{1}{2} < x \le 2$.
Tập nghiệm: $S = \left(\dfrac{1}{2}; 2\right]$.
Cơ số $\dfrac{1}{7} < 1 \implies x + 1 < 2 - x \iff x < \dfrac{1}{2}$.
Kết hợp ĐK: $S = \left(-1; \dfrac{1}{2}\right)$.
b) $2\log(2x+1) > 3 \iff \log(2x+1) > 1{,}5$
$\iff 2x + 1 > 10^{1{,}5} = 10\sqrt{10} \iff x > \dfrac{10\sqrt{10}-1}{2}$.
a) Ở độ cao $h = 4\text{ km}$:
$\dfrac{p}{100} = e^{-4/7} \implies p = 100 \cdot e^{-4/7} \approx 56{,}47\text{ kPa}$.
b) Ở độ cao $h > 10\text{ km}$:
$-\dfrac{h}{7} < -\dfrac{10}{7} \implies \dfrac{p}{100} < e^{-10/7}$
$\implies p < 100 \cdot e^{-10/7} \approx 23{,}97\text{ kPa}$.
Bảng Tổng Hợp & Cẩm Nang Bẫy Giải Toán
Khi giải phương trình $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, nhiều bạn chỉ cho $f(x) = g(x)$ mà quên điều kiện $f(x) > 0$ hoặc $g(x) > 0$, dẫn đến nhận nhầm nghiệm ngoại lai.
Khi cơ số là số thập phân nhỏ hơn 1 (như $0{,}5; 0{,}1; \dfrac{1}{3}$), bắt buộc phải đổi chiều bất phương trình. Quên đổi chiều sẽ làm đảo ngược toàn bộ tập nghiệm.
Khi giải phương trình quy về bậc hai bằng cách đặt $t = a^x$, luôn phải có điều kiện $t > 0$. Nếu phương trình theo $t$ ra nghiệm âm thì phải loại ngay, không được nhận làm nghiệm $x$.