Toán Lớp 11 Chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục 6947 lượt xem

Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Giới hạn của dãy số (Toán 11 KNTT)

CHƯƠNG V: GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC TOÁN 11 KNTT – BÀI 15

BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bước vào cánh cửa Giải tích toán học: Nắm vững khái niệm giới hạn hữu hạn và vô cực của dãy số; làm chủ các phép toán giới hạn phân thức và chứa căn; khai mở công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn và giải mã trọn vẹn Nghịch lí Zeno cùng hàng loạt hiện tượng thực tế.

🔑 Thuật ngữ then chốt: Giới hạn dãy số, Phép toán giới hạn, Cấp số nhân lùi vô hạn, Giới hạn vô cực.

🎯 Kĩ năng cốt lõi: Khử vô định $\frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty$, tính tổng CSN lùi vô hạn, đổi số thập phân tuần hoàn ra phân số.

🐢

Tình huống mở đầu: Nghịch lí Zeno về chàng Achilles và chú rùa

Nhà triết học Hy Lạp cổ đại Zeno (490 – 429 TCN) đã đưa ra một nghịch lí nổi tiếng: Chàng lực sĩ chạy nhanh như gió Achilles đuổi theo một chú rùa bò chậm chạp trên đường thẳng. Achilles xuất phát từ $A_1$, rùa xuất phát từ $R_1$ cách Achilles một quãng $a$ (Hình 5.1).

Hình 5.1: Achilles đuổi theo rùa qua các chặng vô hạn $A_1 \to A_2 \to A_3 \to \dots$

Lập luận của Zeno: Để đuổi kịp rùa, trước hết Achilles phải đến vị trí $A_2 = R_1$. Trong thời gian đó, rùa đã nhích lên vị trí $R_2$. Khi Achilles đến $A_3 = R_2$, rùa lại đến $R_3$... Cứ như vậy, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa!?

👉 Bản chất toán học: Zeno đã chia một khoảng thời gian hữu hạn thành vô số khoảng thời gian nhỏ vô hạn. Tổng của vô số khoảng thời gian đó là một tổng cấp số nhân lùi vô hạn và nó hoàn toàn hội tụ về một số thực hữu hạn! Achilles chắc chắn đuổi kịp và vượt qua chú rùa.

Giới Hạn Hữu Hạn Của Dãy Số

🎯 Dãy Số Có Giới Hạn Là 0:

Ta nói dãy số $(u_n)$ có giới hạn là 0 khi $n$ dần tới dương vô cực, nếu $|u_n|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

$\lim_{n \to +\infty} u_n = 0 \quad \text{hay} \quad u_n \to 0 \text{ khi } n \to +\infty$

📌 Các giới hạn cơ bản bằng 0 cần nhớ:

$\lim \frac{1}{n^k} = 0 \quad (k \in \mathbb{N}^*)$

$\lim q^n = 0 \quad (|q| < 1)$

Nếu $|u_n| \le v_n$ và $\lim v_n = 0 \implies \lim u_n = 0$

✨ Dãy Số Có Giới Hạn Hữu Hạn $a$:

Ta nói dãy số $(u_n)$ có giới hạn là số thực $a$ khi $n$ dần tới dương vô cực nếu:

$\lim_{n \to +\infty} u_n = a \iff \lim_{n \to +\infty} (u_n - a) = 0$

Kí hiệu: $\lim_{n \to +\infty} u_n = a$ (viết gọn là $\lim u_n = a$) hay $u_n \to a$ khi $n \to +\infty$.

💡 Nếu $u_n = c$ (hằng số) với mọi $n$ thì $\lim c = c$.

Ví dụ 2 (SGK)

Chứng minh $\lim \frac{2n+1}{n} = 2$:

Ta có $u_n - 2 = \frac{2n+1}{n} - 2 = \frac{2n+1-2n}{n} = \frac{1}{n}$.

Vì $\lim \frac{1}{n} = 0 \implies \lim (u_n - 2) = 0 \implies \lim u_n = 2$.

Vận dụng 1: Quả bóng nảy

Độ cao quả bóng sau $n$ lần nảy:

Bóng thả từ độ cao 5m, mỗi lần nảy bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước: $u_n = 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n$.

Vì $|q| = \frac{2}{3} < 1 \implies \lim \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0 \implies \lim u_n = 5 \cdot 0 = 0$.

Định Lí Về Giới Hạn Hữu Hạn (Các Phép Toán Giới Hạn)

Nếu $\lim u_n = a$ và $\lim v_n = b$ thì:

$\lim(u_n + v_n) = a + b$

$\lim(u_n - v_n) = a - b$

$\lim(u_n v_n) = a \cdot b$

$\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{a}{b} \quad (b \ne 0)$

Nếu $u_n \ge 0$ với mọi $n$ thì $a \ge 0$ và $\lim \sqrt{u_n} = \sqrt{a}$.

Phương pháp kinh điển (Ví dụ 3 SGK) Khử vô định dạng $\frac{\infty}{\infty}$

Tìm giới hạn: $L = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + n + 1}{2n^2 - 1}$.

• Chia cả tử và mẫu cho $n^2$ (luỹ thừa bậc cao nhất):

$L = \lim \frac{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 - \frac{1}{n^2}} = \frac{\lim(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2})}{\lim(2 - \frac{1}{n^2})} = \frac{1 + 0 + 0}{2 - 0} = \frac{1}{2}$.

Tổng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn

♾️ Định Nghĩa & Công Thức Tính Tổng:

Cấp số nhân vô hạn $(u_n)$ có công bội $q$ thoả mãn $|q| < 1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là giới hạn của tổng riêng $S_n$ khi $n \to +\infty$:

$S = u_1 + u_2 + \dots + u_n + \dots = \frac{u_1}{1 - q} \quad (|q| < 1)$

Hình 5.2: Chia hình vuông cạnh 1 liên tiếp

Ví dụ 5 (SGK)

Biểu diễn số thập phân tuần hoàn $2,222...$ thành phân số:

$2,222... = 2 + 0,2 + 0,02 + 0,002 + \dots$

Phần thập phân là tổng CSN lùi vô hạn với $u_1 = 0,2 = \frac{2}{10}$ và $q = \frac{1}{10}$.

$S = \frac{0,2}{1 - 0,1} = \frac{2}{9} \implies 2,222... = 2 + \frac{2}{9} = \frac{20}{9}$.

Vận dụng 2: Giải mã Nghịch lí Zeno

Achilles chạy $100\text{ km/h}$, rùa $1\text{ km/h}$, cách nhau $100\text{ km}$:

• Thời gian chặng 1: $t_1 = \frac{100}{100} = 1\text{ giờ}$.

• Thời gian chặng 2: $t_2 = \frac{1}{100}\text{ giờ}$, chặng 3: $t_3 = \frac{1}{100^2}\text{ giờ}$...

Tổng thời gian: $T = 1 + \frac{1}{100} + \dots = \frac{1}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{100}{99}\text{ giờ} \approx 1\text{h } 36\text{s}$.

✨ Achilles đuổi kịp rùa sau đúng $\approx 1$ giờ $36$ giây!

Giới Hạn Vô Cực Của Dãy Số

Giới hạn $+\infty$:

Dãy $(u_n)$ có giới hạn $+\infty$ nếu $u_n$ có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu $\lim u_n = +\infty$.

Giới hạn $-\infty$:

Dãy $(u_n)$ có giới hạn $-\infty$ nếu $\lim(-u_n) = +\infty$. Kí hiệu $\lim u_n = -\infty$.

Giả thiết giới hạn	Phép toán	Kết quả giới hạn
$\lim u_n = a, \ \lim v_n = \pm\infty$	$\lim \frac{u_n}{v_n}$	$0$
$\lim u_n = a > 0, \ \lim v_n = 0 \ (v_n > 0)$	$\lim \frac{u_n}{v_n}$	$+\infty$
$\lim u_n = +\infty, \ \lim v_n = a > 0$	$\lim(u_n v_n)$	$+\infty$

🌻

Em Có Biết? — Dãy Fibonacci, Tỉ Lệ Vàng & Dãy Số Logistic

Dãy số Fibonacci: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...$ với hệ thức truy hồi $u_n = u_{n-1} + u_{n-2}$.

Xét dãy tỉ số $v_n = \frac{u_n}{u_{n-1}}$. Khi $n \to +\infty$, dãy tỉ số này hội tụ về nghiệm dương của phương trình $r^2 - r - 1 = 0$:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{u_{n-1}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,6180339... \quad (\text{Tỉ lệ vàng } \phi)$

Tỉ lệ vàng xuất hiện kì diệu trong cấu trúc xoắn ốc của hoa hướng dương, vỏ ốc anh vũ, và các tuyệt tác kiến trúc như đền Parthenon, tranh Mona Lisa.

Xoắn ốc Fibonacci hội tụ về Tỉ lệ vàng

Làm bài tập củng cố của bài này →