Toán Lớp 11 Chương IV: Quan hệ song song trong không gian 6727 lượt xem

Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Hai mặt phẳng song song (Toán 11 KNTT)

CHƯƠNG IV: QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 11 KNTT – BÀI 13

BÀI 13: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Nắm vững điều kiện và các tính chất cơ bản của hai mặt phẳng song song; khám phá Định lí Thalès trong không gian; làm chủ các tính chất hình học đặc sắc của Hình lăng trụ và Hình hộp cùng hàng loạt ứng dụng kĩ thuật – đời sống.

🔑 Thuật ngữ then chốt: Hai mặt phẳng song song, Định lí Thalès không gian, Hình lăng trụ, Hình hộp.

🎯 Kĩ năng cốt lõi: Chứng minh $(\alpha) // (\beta)$, định lí Thalès tính tỉ số, tính chất các mặt đối và đường chéo hình hộp.

💡

Tình huống thực tiễn mở đầu: Kĩ nghệ thái thực phẩm của đầu bếp

Các đầu bếp chuyên nghiệp luôn có kĩ năng dùng dao điêu luyện để thái thức ăn như rau củ, thịt, cá... thành các lát mỏng đều tăm tắp và đẹp mắt.

Câu hỏi gợi mở (Trang 88 SGK): Các nhát cắt cần tuân thủ nguyên tắc gì để đạt được điều đó? Các nhát cắt có nằm trong các mặt phẳng song song hay không?

👉 Trả lời: Lưỡi dao khi chuyển động phải luôn tịnh tiến trong các mặt phẳng đôi một song song và cách đều nhau. Khi đó các lát cắt mới có độ dày bằng nhau hoàn hảo.

Các nhát cắt của lưỡi dao nằm trong các mặt phẳng song song

Hai Mặt Phẳng Song Song

📖 Định Nghĩa Hai Mặt Phẳng Song Song:

Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

$(\alpha) // (\beta) \iff (\alpha) \cap (\beta) = \varnothing$

📌 Nhận xét cốt lõi:

Nếu hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau và đường thẳng $d$ nằm trong $(\alpha)$ thì $d$ và $(\beta)$ không có điểm chung, tức là $d$ song song với $(\beta)$.

$\begin{cases} (\alpha) // (\beta) \\ d \subset (\alpha) \end{cases} \implies d // (\beta)$

Đường thẳng $d \subset (\alpha)$ luôn song song với $(\beta)$

Hình 4.40: Các mặt bậc thang Các mặt dẫm của bậc thang là các mặt phẳng song song

Ruộng bậc thang Tây Bắc Mỗi thềm ruộng phẳng lặng gợi nên các mặt song song

Tháp nghiêng Pisa (Ý) Các mặt sàn ở mỗi tầng KHÔNG song song với mặt đất!

Điều Kiện Và Tính Chất Của Hai Mặt Phẳng Song Song

ĐỊNH LÍ 1

Dấu Hiệu Nhận Biết Hai Mặt Phẳng Song Song

Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng $(\beta)$ thì $(\alpha)$ song song với $(\beta)$.

$\begin{cases} a \subset (\alpha), \ b \subset (\alpha) \\ a \cap b = \{M\} \\ a // (\beta), \ b // (\beta) \end{cases} \implies (\alpha) // (\beta)$

⚠️ Cảnh báo kĩ thuật: Bắt buộc phải có điều kiện hai đường thẳng cắt nhau! Nếu $a // b$ thì mặt phẳng $(\alpha)$ vẫn có thể cắt mặt phẳng $(\beta)$ theo một giao tuyến song song với $a$ và $b$.

Hình 4.41: Hai đường cắt nhau cùng song song $(\beta)$

Ví dụ 1 (SGK) Hình 4.42

Cho hai HBH $ABCD$ và $ABEF$ không đồng phẳng. Ta có $BC // AD \subset (ADF) \implies BC // (ADF)$ và $BE // AF \subset (ADF) \implies BE // (ADF)$.
Vì $BC$ và $BE$ cắt nhau tại $B$ nên $(BCE) // (ADF)$.

Luyện tập 1 (SGK)

Cho 4 điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng. Qua $A$ kẻ $m // BC$ và $n // BD$.

Do $m // BC \subset (BCD) \implies m // (BCD)$. Tương tự $n // (BCD)$.

Vì $m$ và $n$ cắt nhau tại $A$ nên $mp(m, n) // (BCD)$.

Vận dụng 1: Bàn xoay Hình 4.43

Khung chân bàn gồm 2 hình chữ nhật xoay quanh trục. Hai mép trên luôn song song với hai mép đáy tiếp xúc mặt đất $\implies$ Mặt bàn đặt lên luôn song song với mặt đất.

Định lí 2 Tính duy nhất của mặt phẳng song song

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

🔗 Tính chất bắc cầu: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau: $$\begin{cases} (\alpha) // (\gamma) \\ (\beta) // (\gamma) \end{cases} \implies (\alpha) // (\beta)$$

Hình 4.44: Mặt bìa song song mặt bàn

ĐỊNH LÍ 3

Tính Chất Giao Tuyến Của Hai Mặt Phẳng Song Song

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

$\begin{cases} (P) // (Q) \\ (R) \cap (P) = a \\ (R) \cap (Q) = b \end{cases} \implies a // b$

Hình 4.46: Giao tuyến $a // b$

Định Lí Thalès Trong Không Gian

📏 Định Lí Thalès:

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$

Định lí Thalès trong không gian là mở rộng tự nhiên của định lí Thalès trong hình học phẳng!

Hình 4.48: Cát tuyến $d, d'$ cắt 3 mặt phẳng song song

Ví dụ 4 (SGK) Tứ diện SABC và các mặt song song

Cho hình tứ diện $SABC$. Trên cạnh $SA$ lấy $A_1, A_2$ sao cho $A_1A_2 = 2A_1A$. Gọi $(P), (Q)$ lần lượt qua $A_1, A_2$ và cùng song song với $(ABC)$, cắt các cạnh $SB, SC$ tại $B_1, C_1$ và $B_2, C_2$.

Áp dụng định lí Thalès cho 3 mặt phẳng song song $(P), (Q), (ABC)$ và hai cát tuyến $SA, SB$:
$\frac{A_2A_1}{A_1A} = \frac{B_2B_1}{B_1B}$. Mà $A_1A_2 = 2A_1A \implies B_1B_2 = 2B_1B$. Tương tự: $C_1C_2 = 2C_1C$.

Hình Lăng Trụ Và Hình Hộp

📦 Cấu Tạo Và Tính Chất Của Hình Lăng Trụ:

Cho hai mặt phẳng song song $(\alpha)$ và $(\alpha')$. Hình đa diện gồm hai đáy và các mặt bên được gọi là hình lăng trụ, kí hiệu là $A_1A_2...A_n.A'_1A'_2...A'_n$ (Hình 4.50):

Hai đáy: Hai đa giác bằng nhau $A_1A_2...A_n$ và $A'_1A'_2...A'_n$ nằm trên hai mặt phẳng song song.
Các cạnh bên: $A_1A'_1, A_2A'_2, ..., A_nA'_n$ song song và bằng nhau từng đôi một.
Các mặt bên: Các tứ giác $A_1A'_1A'_2A_2, ...$ đều là các hình bình hành.

Tên của hình lăng trụ được gọi theo tên đa giác đáy: Lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác...

🧊 Khái Niệm Và Tính Chất Của Hình Hộp:

Hình lăng trụ tứ giác có hai đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp (kí hiệu $ABCD.A'B'C'D'$).

✨ Các tính chất đặc sắc của hình hộp:

6 mặt của hình hộp đều là các hình bình hành.
Các mặt đối diện của hình hộp song song với nhau và có thể coi là hai đáy.
4 đường chéo ($AC', BD', CA', DB'$) đồng quy tại trung điểm của mỗi đường. Điểm đồng quy này gọi là tâm của hình hộp.

Vận dụng 2: Đo mực nước

Bác Hà đặt thanh gỗ nghiêng trong bể hộp. Mặt đáy, mặt nước và mặt nắp là 3 mặt phẳng song song chắn trên thanh gỗ và thành bể $\implies$ Tỉ số chiều dài thanh gỗ bị ngập nước bằng chính tỉ số giữa độ sâu của nước và chiều cao của bể (theo định lí Thalès).

Bài 4.28: Cầu thang xương cá

Các mặt bậc thang là các mặt phẳng song song. Bức tường phẳng cắt các mặt bậc thang theo các giao tuyến. Theo Định lí 3, các giao tuyến mép bậc thang trên tường luôn song song với nhau!

Làm bài tập củng cố của bài này →