Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Đường thẳng và mặt phẳng song song (Toán 11 KNTT)
BÀI 12: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
Nắm vững 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng; hiểu sâu Định lí 1 (dấu hiệu nhận biết đường song song mặt) và Định lí 2 (tính chất giao tuyến khi mặt phẳng chứa đường thẳng song song); thuần thục phương pháp xác định thiết diện và ứng dụng thực tiễn.
Tình huống thực tiễn mở đầu: Kĩ thuật căng dây nhợ của thợ xây
Khi xây tường gạch, người thợ xây thường bắt đầu bằng việc xây các viên gạch dẫn ở hai đầu bức tường, sau đó căng một sợi dây nhợ dọc theo cạnh của các viên gạch dẫn đó để làm chuẩn rồi mới xây các viên gạch tiếp theo ở giữa.
Câu hỏi gợi mở (Trang 84 SGK): Việc sử dụng dây căng như vậy có tác dụng gì? Toán học mô tả vị trí giữa dây căng, các mép gạch với mặt đất như thế nào?
👉 Trả lời: Dây nhợ giúp các hàng gạch luôn thẳng hàng và phẳng phiu. Mép dây nhợ và các mép gạch đều song song với mặt sàn / mặt đất, tạo nên bức tường thẳng đứng và vững chắc.
Thợ xây căng dây nhợ làm chuẩn xây tường gạch
Đường Thẳng Song Song Với Mặt Phẳng
Quan sát hình ảnh khung thành bóng đá và nhận xét vị trí của xà ngang, cột dọc, thanh chống bên so với mặt đất:
- Xà ngang: Không có điểm chung với mặt đất $\implies$ Xà ngang song song với mặt đất.
- Cột dọc, thanh chống: Có đúng một điểm chạm mặt đất $\implies$ Cột dọc cắt mặt đất.
- Thanh đáy khung thành: Nằm áp sát trên mặt cỏ $\implies$ Thanh đáy nằm trong mặt đất.
Số điểm chung giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$ quyết định vị trí tương đối của chúng:
$d$ và $(\alpha)$ không có điểm chung nào.
$d$ và $(\alpha)$ có đúng 1 điểm chung duy nhất $M$.
$d$ và $(\alpha)$ có từ hai điểm chung phân biệt trở lên $\implies d$ nằm trong $(\alpha)$.
Hình minh họa 3 vị trí: $d // (\alpha)$ (không điểm chung), $d \cap (\alpha) = \{M\}$ (1 điểm chung), $d \subset (\alpha)$ (vô số điểm chung)
Hình 4.34: Cầu Long Biên — "chứng nhân lịch sử"
Các thanh dầm thép ngang của cầu luôn song song với mặt nước phẳng lặng của dòng sông Hồng.
Cho hình tứ diện $ABCD$ (Hình 4.35):
a) Đường thẳng $AB$ cắt các mặt phẳng: $(ACD)$ (tại $A$) và $(BCD)$ (tại $B$).
b) Đường thẳng $AB$ nằm trong các mặt phẳng: $(ABC)$ và $(ABD)$.
Trong tứ diện $ABCD$, đường thẳng $AC$ cắt mặt phẳng nào, nằm trong mặt phẳng nào?
👉 Đáp án: $AC$ cắt các mặt $(ABD)$ (tại $A$) và $(BCD)$ (tại $C$); $AC$ nằm trong các mặt $(ABC)$ và $(ACD)$.
Điều Kiện Và Tính Chất Của Đường Thẳng Song Song Với Mặt Phẳng
Dấu Hiệu Nhận Biết Đường Thẳng Song Song Với Mặt Phẳng
Hình 4.36: $a // b \subset (P) \implies a // (P)$
Cho ba đường thẳng $a, b, c$ đôi một song song với nhau và không cùng nằm trong một mặt phẳng (Hình 4.37). Chứng minh $a // mp(b, c)$.
Giải: Do ba đường thẳng không đồng phẳng nên $a$ không nằm trong $mp(b, c)$. Mà $a // b$ với $b \subset mp(b, c)$. Theo Định lí 1 suy ra $a // mp(b, c)$.
Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ (Hình 4.38). Chứng minh có một mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$.
Giải: Lấy điểm $M \in a$, kẻ $b' // b$ qua $M$. Đặt $(P) = mp(a, b')$. Khi đó $b \not\subset (P)$ và $b // b' \subset (P) \implies b // (P)$.
📌 Mặt phẳng $(P)$ này là duy nhất!
Tính Chất Giao Tuyến (Phương Pháp Tìm Giao Tuyến Khi Có Đường Song Song)
Đường thẳng $a$ và $b$ cùng nằm trong $(Q)$ nên không thể chéo nhau!
Cho tứ diện $ABCD$, điểm $E$ nằm giữa $A$ và $C$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $E$ và song song với hai đường thẳng $AB, CD$ (Hình 4.39). Xác định các giao tuyến của $(P)$ với các mặt của tứ diện và hình dạng thiết diện tạo thành.
• Mặt phẳng $(ABC)$ chứa $AB // (P)$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến qua $E$ nên kẻ $EF // AB$ ($F \in BC$).
• Mặt phẳng $(ACD)$ chứa $CD // (P)$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến qua $E$ nên kẻ $EH // CD$ ($H \in AD$).
• Mặt phẳng $(BCD)$ chứa $CD // (P)$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến qua $F$ nên kẻ $FG // CD$ ($G \in BD$).
• Đoạn nối $GH$ là giao tuyến của $(P)$ với $(ABD)$, và hiển nhiên $GH // AB$.
👉 Tứ giác $EFGH$ có $\begin{cases} EF // GH \ (// AB) \\ EH // FG \ (// CD) \end{cases} \implies EFGH$ là hình bình hành!
Hình 4.39: Thiết diện $EFGH$ là hình bình hành
Dù cửa ra vào được mở ở bất kì vị trí nào (quay quanh trục bản lề thẳng đứng), thì mép trên của cánh cửa luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định:
Các vị trí mở khác nhau của cánh cửa