Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất
Khái niệm biến cố, biến cố đối, không gian mẫu; định nghĩa cổ điển của xác suất và các tính chất cơ bản; nguyên lí xác suất bé và ý nghĩa thực tế.
BÀI 26: BIẾN CỐ VÀ ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT
“Lí thuyết Xác suất ra đời từ việc nghiên cứu các trò chơi may rủi, đã và đang trở thành một trong những đối tượng quan trọng nhất của tri thức nhân loại. Phần lớn những vấn đề quan trọng nhất của cuộc sống là những bài toán của Lí thuyết Xác suất.”
P. S. Laplace(1749 – 1827)
- Phép thử ngẫu nhiên & Không gian mẫu ($\Omega$)
- Biến cố & Biến cố đối ($E$ và $\overline{E} = C_\Omega E$)
- Định nghĩa cổ điển của xác suất ($P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)}$)
- Nguyên lí xác suất bé và ý nghĩa thực tế
- Nhận biết biến cố là một tập con của không gian mẫu $\Omega$.
- Xác định và mô tả biến cố đối $\overline{E}$ bằng phần bù trong $\Omega$.
- Tính xác suất của biến cố trong các phép thử đồng khả năng.
- Vận dụng tính chất cơ bản $0 \le P(E) \le 1$ và nguyên lí xác suất bé vào đời sống.
Khi tham gia một trò chơi bốc thăm trúng thưởng, mỗi người chơi chọn một bộ 6 số đôi một khác nhau từ 45 số: $1; 2; 3; \dots; 45$, chẳng hạn bạn An chọn bộ số: \{5; 13; 20; 31; 32; 35\} .
Sau đó, người quản trò bốc ngẫu nhiên 6 quả bóng (không hoàn lại) từ thùng kín đựng 45 quả bóng ghi các số từ $1$ đến $45$. Bộ 6 số ghi trên 6 quả bóng đó là bộ số trúng thưởng.
- Trùng cả 6 số: Trúng giải độc đắc.
- Trùng đúng 5 số: Trúng giải nhất.
Làm thế nào để tính xác suất bạn An trúng giải độc đắc hoặc giải nhất khi tham gia trò chơi này?
Bốc 6 quả bóng từ 45 số
BIẾN CỐ
- Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết trước khi phép thử được thực hiện.
- Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Không gian mẫu được kí hiệu là $\Omega$.
- Kết quả thuận lợi cho một biến cố $E$ liên quan tới phép thử $T$ là kết quả của phép thử $T$ làm cho biến cố đó xảy ra.
Một tổ trong lớp 10A có ba học sinh nữ là Hương, Hồng, Dung và bốn học sinh nam là Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến. Giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ đó để kiểm tra vở bài tập. Phép thử ngẫu nhiên là gì? Mô tả không gian mẫu.
- Phép thử ngẫu nhiên là chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ để kiểm tra vở bài tập.
- Không gian mẫu là tập hợp tất cả các học sinh trong tổ:
$$\Omega = \{\text{Hương; Hồng; Dung; Sơn; Tùng; Hoàng; Tiến}\}$$
Không gian mẫu có $n(\Omega) = 7$ phần tử.
Trở lại Ví dụ 1, xét hai biến cố:
$A$: “Học sinh được chọn là một bạn nữ”;
$B$: “Học sinh được chọn có tên bắt đầu bằng chữ H”.
Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ và biến cố $B$.
• Các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $\{\text{Hương; Hồng; Dung}\}$.
• Các kết quả thuận lợi cho biến cố $B$ là: $\{\text{Hương; Hồng; Hoàng}\}$.
Theo định nghĩa, ta thấy mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ chính là một phần tử thuộc không gian mẫu $\Omega$. Do đó về mặt toán học, ta có:
Mỗi biến cố là một tập con của không gian mẫu $\Omega$.
Tập con này là tập tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó: $E \subseteq \Omega$.
Nhận xét:
• Biến cố chắc chắn là tập hợp $\Omega$ (luôn luôn xảy ra).
• Biến cố không thể là tập hợp rỗng $\emptyset$ (không bao giờ xảy ra).
Hình 9.1: Không gian mẫu \(\Omega\) và biến cố \(E\)
Trở lại tình huống mở đầu về trò chơi bốc thăm trúng thưởng:
a) Phép thử là gì? Mô tả không gian mẫu $\Omega$.
b) Gọi $F$ là biến cố: “Bạn An trúng giải độc đắc”. Hỏi $F$ là tập con nào của không gian mẫu?
c) Gọi $G$ là biến cố: “Bạn An trúng giải nhất”. Hãy chỉ ra ba phần tử thuộc tập $G$. Từ đó hãy mô tả tập hợp $G$ bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập $G$.
a) Phép thử là chọn ngẫu nhiên 6 số trong 45 số: $1; 2; 3; \dots; 45$.
Không gian mẫu $\Omega$ là tập hợp tất cả các tập con có 6 phần tử của tập $\{1; 2; 3; \dots; 45\}$. Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{45}^6 = 8\,145\,060$.
b) Biến cố $F$ gồm duy nhất 1 phần tử (bộ 6 số An đã chọn):
$$F = \{\{5; 13; 20; 31; 32; 35\}\}$$
c) Ba phần tử thuộc $G$ chẳng hạn là:
$\{6; 13; 20; 31; 32; 35\}$; $\{5; 7; 20; 31; 32; 35\}$; $\{5; 13; 8; 31; 32; 35\}$.
Tập $G$ là tập hợp tất cả các tập con gồm 6 phần tử của $\{1; 2; 3; \dots; 45\}$ có tính chất: có đúng 5 phần tử thuộc tập $\{5; 13; 20; 31; 32; 35\}$ và 1 phần tử còn lại không thuộc tập đó.
Phần thưởng trong một chương trình khuyến mãi của một siêu thị là: ti vi, bàn ghế, tủ lạnh, máy tính, bếp từ, bộ bát đĩa. Ông Dũng tham gia chương trình được chọn ngẫu nhiên một mặt hàng.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Gọi $D$ là biến cố: “Ông Dũng chọn được mặt hàng là đồ điện”. Hỏi $D$ là tập con nào của không gian mẫu?
a) Không gian mẫu gồm 6 mặt hàng:
$$\Omega = \{\text{ti vi; bàn ghế; tủ lạnh; máy tính; bếp từ; bộ bát đĩa}\}$$
b) Các mặt hàng đồ điện là: ti vi, tủ lạnh, máy tính, bếp từ. Do đó:
$$D = \{\text{ti vi; tủ lạnh; máy tính; bếp từ}\} \subset \Omega$$
Trở lại Ví dụ 1, hãy cho biết khi nào biến cố $C$: “Học sinh được chọn là một bạn nam” xảy ra.
Ta thấy biến cố $C$ xảy ra khi và chỉ khi biến cố $A$ (“chọn bạn nữ”) không xảy ra. Ta nói $C$ là biến cố đối của $A$.
Biến cố đối của biến cố $E$ là biến cố “$E$ không xảy ra”.
Biến cố đối của $E$ được kí hiệu là $\overline{E}$.
Nhận xét: Nếu biến cố $E$ là tập con của không gian mẫu $\Omega$ thì biến cố đối $\overline{E}$ là tập tất cả các phần tử của $\Omega$ mà không là phần tử của $E$.
Vậy biến cố đối $\overline{E}$ chính là phần bù của $E$ trong $\Omega$: $$\overline{E} = C_\Omega E = \Omega \setminus E$$
Hình 9.2: Biến cố đối \(\overline{E}\)
Gieo một con xúc xắc 6 mặt và quan sát số chấm xuất hiện trên con xúc xắc.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Gọi $M$ là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số chẵn”. Nội dung biến cố đối $\overline{M}$ của $M$ là gì?
c) Các biến cố $M$ và $\overline{M}$ là tập con nào của không gian mẫu?
a) Không gian mẫu: $\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.
b) Biến cố đối $\overline{M}$ của $M$ là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số lẻ”.
c) Ta có:
$$M = \{2; 4; 6\} \subseteq \Omega$$
$$\overline{M} = C_\Omega M = \{1; 3; 5\} \subseteq \Omega$$
Gieo một con xúc xắc. Gọi $K$ là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số nguyên tố”.
a) Biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một hợp số” có là biến cố $\overline{K}$ không?
b) Các biến cố $K$ và $\overline{K}$ là tập con nào của không gian mẫu?
a) Không! Vì số $1$ không phải là số nguyên tố và cũng không phải là hợp số.
Nếu gieo được mặt 1 chấm thì biến cố $K$ không xảy ra, nhưng biến cố “hợp số” cũng không xảy ra. Do đó biến cố đối $\overline{K}$ phải là “Số chấm xuất hiện không phải là số nguyên tố”.
b) Trong tập $\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$:
- Các số nguyên tố là $2; 3; 5 \implies K = \{2; 3; 5\} \subset \Omega$.
- Các số không phải số nguyên tố là $1; 4; 6 \implies \overline{K} = \{1; 4; 6\} \subset \Omega$.
ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT
• Các kết quả có thể của phép thử $T$ gọi là đồng khả năng nếu chúng có khả năng xuất hiện như nhau.
• Giả sử các kết quả có thể của phép thử $T$ là đồng khả năng. Khi đó xác suất của biến cố $E$ bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi của $E$ và số kết quả có thể.
Một hộp chứa 12 tấm thẻ được đánh số $1; 2; 3; \dots; 12$. Rút ngẫu nhiên từ hộp đó một tấm thẻ.
a) Mô tả không gian mẫu $\Omega$. Các kết quả có thể có đồng khả năng không?
b) Xét biến cố $E$: “Rút được thẻ ghi số nguyên tố”. Biến cố $E$ là tập con nào của không gian mẫu?
c) Phép thử có bao nhiêu kết quả có thể? Biến cố $E$ có bao nhiêu kết quả thuận lợi? Từ đó, hãy tính xác suất của biến cố $E$.
a) $\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12\}$. Các kết quả là đồng khả năng do các thẻ giống nhau và rút ngẫu nhiên.
b) Các số nguyên tố trong hộp là $\{2; 3; 5; 7; 11\} \implies E = \{2; 3; 5; 7; 11\} \subseteq \Omega$.
c) Phép thử có $n(\Omega) = 12$ kết quả có thể. Biến cố $E$ có $n(E) = 5$ kết quả thuận lợi. Do đó:
$$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{5}{12}$$
ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT
Cho phép thử $T$ có không gian mẫu là $\Omega$. Giả thiết rằng các kết quả có thể của $T$ là đồng khả năng. Khi đó nếu $E$ là một biến cố liên quan đến phép thử $T$ thì xác suất của $E$ được cho bởi công thức:
trong đó $n(\Omega)$ và $n(E)$ tương ứng là số phần tử của tập hợp $\Omega$ và tập hợp $E$.
- Với mỗi biến cố $E$, ta luôn có: $0 \le P(E) \le 1$.
- Với biến cố chắc chắn (tập $\Omega$), ta có: $P(\Omega) = 1$.
- Với biến cố không thể (tập $\emptyset$), ta có: $P(\emptyset) = 0$.
Do biến cố $E$ là tập con của $\Omega$ nên $\emptyset \subseteq E \subseteq \Omega$. Do đó $0 = n(\emptyset) \le n(E) \le n(\Omega)$.
Chia cả ba vế cho $n(\Omega) > 0$, ta được:
$$0 \le \frac{n(E)}{n(\Omega)} \le 1 \iff 0 \le P(E) \le 1$$
Khi $E = \Omega \implies P(\Omega) = \frac{n(\Omega)}{n(\Omega)} = 1$; khi $E = \emptyset \implies P(\emptyset) = \frac{0}{n(\Omega)} = 0$.
Gieo một đồng xu cân đối liên tiếp ba lần. Gọi $E$ là biến cố: “Có hai lần xuất hiện mặt sấp và một lần xuất hiện mặt ngửa”. Tính xác suất của biến cố $E$.
Kí hiệu S và N tương ứng là đồng xu ra mặt sấp và mặt ngửa.
Không gian mẫu gồm $2^3 = 8$ kết quả:
$$\Omega = \{\text{SSS; SSN; SNS; SNN; NSS; NSN; NNS; NNN}\} \implies n(\Omega) = 8$$
Biến cố $E$ gồm các kết quả có đúng hai chữ S và một chữ N:
$$E = \{\text{SSN; SNS; NSS}\} \implies n(E) = 3$$
Do đồng xu cân đối nên các kết quả có thể là đồng khả năng. Xác suất biến cố $E$ là:
$$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{3}{8}$$
Hai túi I và II chứa các tấm thẻ được đánh số. Túi I: $\{1; 2; 3; 4; 5\}$, túi II: $\{1; 2; 3; 4\}$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ mỗi túi I và II. Tính xác suất để tổng hai số trên hai tấm thẻ lớn hơn 6.
Túi I & Túi II
Mô tả không gian mẫu $\Omega$ bằng cách lập bảng hai chiều:
| Túi I \ Túi II | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) |
Mỗi ô là một kết quả có thể. Bảng có $5 \times 4 = 20$ ô $\implies n(\Omega) = 20$.
Biến cố $E$: “Tổng hai số trên hai tấm thẻ lớn hơn 6” xảy ra khi tổng bằng 7, 8 hoặc 9:
- Tổng bằng 7: $(3, 4); (4, 3); (5, 2)$.
- Tổng bằng 8: $(4, 4); (5, 3)$.
- Tổng bằng 9: $(5, 4)$.
Vậy $E = \{(3, 4); (4, 3); (5, 2); (4, 4); (5, 3); (5, 4)\} \implies n(E) = 6$.
Xác suất của biến cố $E$ là: $$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3$$
Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 4 hoặc bằng 6.
- Gieo 2 con xúc xắc cân đối $\implies n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$.
- Các kết quả có tổng số chấm bằng 4 là: $(1, 3); (2, 2); (3, 1)$ (3 kết quả).
- Các kết quả có tổng số chấm bằng 6 là: $(1, 5); (2, 4); (3, 3); (4, 2); (5, 1)$ (5 kết quả).
- Gọi $F$ là biến cố “Tổng số chấm bằng 4 hoặc bằng 6”. Số kết quả thuận lợi là $n(F) = 3 + 5 = 8$.
Xác suất cần tìm là: $$P(F) = \frac{n(F)}{n(\Omega)} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$$
NGUYÊN LÍ XÁC SUẤT BÉ
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.
Chẳng hạn, xác suất một chiếc máy bay rơi là rất bé, khoảng $0,00000027$. Mỗi hành khách khi đi máy bay đều tin rằng biến cố “Máy bay rơi” sẽ không xảy ra trong chuyến bay của mình, do đó người ta vẫn không ngần ngại đi máy bay.
Trong thực tế, xác suất của một biến cố được coi là bé phụ thuộc vào từng trường hợp cụ thể:
- Xác suất một chiếc điện thoại bị lỗi kĩ thuật là $0,001$ được coi là rất bé (tỉ lệ 1/1.000 máy có thể chấp nhận trong sản xuất).
- Nhưng nếu xác suất cháy nổ động cơ của một máy bay là $0,001$ thì xác suất này không được coi là rất bé (vì nguy cơ đe dọa sinh mạng hàng trăm hành khách, bắt buộc phải dừng bay để đại tu kĩ thuật!).
Ý nghĩa thực tế của xác suất: Giả sử biến cố $A$ có xác suất $P(A)$. Khi thực hiện phép thử $n$ lần ($n \ge 30$) thì số lần xuất hiện biến cố $A$ sẽ xấp xỉ bằng $n \cdot P(A)$ (khi $n$ càng lớn thì sai số tương đối càng bé).
Bài toán: Giả thiết rằng xác suất sinh con trai là $0,512$ và xác suất sinh con gái là $0,488$. Hãy ước tính trong số trẻ mới sinh với $10\,000$ bé gái thì có bao nhiêu bé trai?
Gọi $n$ là tổng số trẻ mới sinh. Ta coi mỗi lần sinh là một phép thử và biến cố liên quan là “Sinh con gái” với xác suất $P = 0,488$.
Theo ý nghĩa thực tế, số bé gái xấp xỉ bằng: $n \times 0,488$. Theo bài ra ta có:
Khi đó, số bé trai mới sinh được ước tính là:
(Hoặc lấy tổng số trẻ trừ đi số bé gái: $20\,492 - 10\,000 = 10\,492$ bé trai).
| Khái niệm | Kí hiệu / Công thức | Ý nghĩa & Tính chất |
|---|---|---|
| Không gian mẫu | $\Omega$, số phần tử $n(\Omega)$ | Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử |
| Biến cố | $E \subseteq \Omega$ | Tập các kết quả thuận lợi cho sự kiện $E$ |
| Biến cố đối | $\overline{E} = C_\Omega E = \Omega \setminus E$ | Xảy ra khi và chỉ khi $E$ không xảy ra ($E \cap \overline{E} = \emptyset, E \cup \overline{E} = \Omega$) |
| Xác suất cổ điển | $P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)}$ | Áp dụng cho các kết quả đồng khả năng; $0 \le P(E) \le 1$ |
| Biến cố đặc biệt | $P(\Omega) = 1, \quad P(\emptyset) = 0$ | Chắc chắn xảy ra ($P=1$) hoặc không thể xảy ra ($P=0$) |