Toán Lớp 10 Chương VIII: Đại số tổ hợp 5127 lượt xem

Bài 25: Nhị thức Newton

Công thức khai triển nhị thức Newton (a + b)^4 và (a + b)^5; quy luật số mũ, cách tính hệ số qua tổ hợp; ứng dụng tính giá trị gần đúng và ước lượng sai số tuyệt đối.

TOÁN 10 • CHƯƠNG VIII: ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Thời lượng: 2 tiết SGK tr. 72 – 75

BÀI 25: NHỊ THỨC NEWTON

Sách giáo khoa Toán 10 • Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống

Thuật ngữ

Khai triển
Nhị thức

Kiến thức, kĩ năng

Khai triển nhị thức Newton $(a + b)^n$ bằng vận dụng tổ hợp với số mũ thấp ($n = 4$ hoặc $n = 5$).

Đặt vấn đề (SGK Trang 72)

Ở lớp 8, ta đã biết:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Trong các công thức trên, số mũ của $a$ giảm dần từ $2$ (hoặc $3$) về $0$; số mũ của $b$ tăng dần từ $0$ lên $2$ (hoặc $3$).

Liệu có công thức tương tự để khai triển nhanh chóng $(a + b)^4, (a + b)^5$ hay không?

KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON $(a + b)^4$

HĐ 1: Sơ đồ hình cây của tích hai nhị thức $(a + b)(c + d)$

Khám phá

Sơ đồ hình cây của tích hai nhị thức $(a + b)(c + d)$ được xây dựng như sau:

Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức thứ nhất (Hình 8.6);
Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai;
Tại ngọn của các mũi tên xây dựng tại bước sau cùng, ghi lại tích của các nhãn của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.

Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển của tích $(a + b)(c + d)$.

Kết luận HĐ 1:

Tổng các tích nhận được tại các ngọn là: $ac + ad + bc + bd$.

Kết quả này hoàn toàn trùng khớp với khai triển của tích hai đa thức: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.

Hình 8.6: Sơ đồ hình cây của $(a + b)(c + d)$

HĐ 2: Sơ đồ hình cây của tích ba nhị thức $(a + b)(a + b)(a + b)$

Khám phá

Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (Hình 8.7) của tích $(a + b)(a + b)(a + b)$.

Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng $a^3, a^2b, ab^2, b^3$? Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển $(a + b)^3$.

Kết luận HĐ 2:

Có 1 tích bằng $a^3$ (đi theo nhánh $a-a-a$).
Có 3 tích bằng $a^2b$ (gồm các nhánh $a-a-b, a-b-a, b-a-a$).
Có 3 tích bằng $ab^2$ (gồm các nhánh $a-b-b, b-a-b, b-b-a$).
Có 1 tích bằng $b^3$ (đi theo nhánh $b-b-b$).

Các số này lần lượt là $1, 3, 3, 1$, hoàn toàn bằng các hệ số của khai triển $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$!

Hình 8.7: Sơ đồ hình cây của $(a + b)^3$

NHẬN XÉT QUAN TRỌNG

Các tích nhận được từ sơ đồ hình cây của một tích các đa thức giống như cách lấy ra một đơn thức từ mỗi đa thức rồi nhân lại với nhau. Hơn nữa, tổng của chúng cho ta khai triển của tích các đa thức đã cho.

Chẳng hạn, trong sơ đồ hình cây (Hình 8.8) của $(a + b)(c + d)$ thì các tích nhận được là $ac, ad, bc, bd$ cũng chính là các tích nhận được khi ta lấy một hạng tử của nhị thức thứ nhất (là $a$ hoặc $b$) nhân với một hạng tử của nhị thức thứ hai (là $c$ hoặc $d$): $$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$

Hình 8.8: Sơ đồ hình cây minh họa phép nhân đa thức

Hình 8.8: Cơ chế nhân đa thức

HĐ 3: Ứng dụng tổ hợp đếm số đơn thức đồng dạng trong $(a + b)^4$

Khám phá

Sơ đồ hình cây của khai triển $(a + b)^4$ được mô tả như Hình 8.9. Sau khi khai triển, ta thu được một tổng gồm $2^4 = 16$ (theo quy tắc nhân) đơn thức có dạng $x \cdot y \cdot z \cdot t$, trong đó mỗi $x, y, z, t$ là $a$ hoặc $b$.

Chẳng hạn, để có đơn thức thu gọn $a^3b$, thì trong 4 nhân tử $x, y, z, t$ phải có đúng 1 nhân tử là $b$, 3 nhân tử còn lại là $a$. Số cách chọn 1 nhân tử $b$ từ 4 nhân tử là tổ hợp $C_4^1$. Do đó có đúng $C_4^1 = 4$ đơn thức đồng dạng với $a^3b$.

Lập luận tương tự, dùng kiến thức về tổ hợp để tìm số đơn thức đồng dạng với:

Đơn thức $a^4$ $C_4^0 = 1$

Đơn thức $a^3b$ $C_4^1 = 4$

Đơn thức $a^2b^2$ $C_4^2 = 6$

Đơn thức $ab^3$ $C_4^3 = 4$

Đơn thức $b^4$ $C_4^4 = 1$

Hình 8.9: Sơ đồ hình cây của $(a + b)^4$

CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON

Từ HĐ3, sau khi rút gọn các đơn thức đồng dạng, ta thu được công thức khai triển:

$$(a + b)^4 = C_4^0 a^4 + C_4^1 a^3b + C_4^2 a^2b^2 + C_4^3 ab^3 + C_4^4 b^4$$

$$= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

Trong khai triển nhị thức Newton $(a + b)^4$, các đơn thức có bậc là 4.

Ví dụ 1 SGK Trang 73

Khai triển: $(2x + 1)^4$.

Lời giải:

Thay $a = 2x$ và $b = 1$ trong công thức khai triển của $(a + b)^4$, ta được:

$$(2x + 1)^4 = (2x)^4 + 4 \cdot (2x)^3 \cdot 1 + 6 \cdot (2x)^2 \cdot 1^2 + 4 \cdot (2x) \cdot 1^3 + 1^4$$ $$= 16x^4 + 4 \cdot 8x^3 + 6 \cdot 4x^2 + 8x + 1$$ $$= 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1$$

Luyện tập 1 Tự luyện

Khai triển: $(x - 2)^4$.

Hướng dẫn giải:

Ta viết $(x - 2)^4 = [x + (-2)]^4$, áp dụng công thức với $a = x$ và $b = -2$:

$$(x - 2)^4 = x^4 + 4 \cdot x^3 \cdot (-2) + 6 \cdot x^2 \cdot (-2)^2 + 4 \cdot x \cdot (-2)^3 + (-2)^4$$ $$= x^4 - 8x^3 + 6 \cdot 4x^2 - 4 \cdot 8x + 16$$ $$= x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16$$

KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON $(a + b)^5$

HĐ 4: Đếm số đơn thức đồng dạng trong khai triển $(a + b)^5$

Khám phá

Tương tự như HĐ3, sau khi khai triển $(a + b)^5$, ta thu được một tổng gồm $2^5 = 32$ đơn thức có dạng $x \cdot y \cdot z \cdot t \cdot u$, trong đó mỗi kí hiệu $x, y, z, t, u$ là $a$ hoặc $b$.

Chẳng hạn, nếu $x, z$ là $a$, còn $y, t, u$ là $b$ thì ta có đơn thức $a \cdot b \cdot a \cdot b \cdot b$, thu gọn là $a^2b^3$. Để có đơn thức này, thì trong 5 nhân tử có đúng 3 nhân tử là $b$, 2 nhân tử còn lại là $a$. Khi đó số đơn thức đồng dạng với $a^2b^3$ trong tổng là $C_5^3$.

Dùng kiến thức về tổ hợp để xác định số đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau:

Đơn thức $a^5$ $C_5^0 = 1$

Đơn thức $a^4b$ $C_5^1 = 5$

Đơn thức $a^3b^2$ $C_5^2 = 10$

Đơn thức $a^2b^3$ $C_5^3 = 10$

Đơn thức $ab^4$ $C_5^4 = 5$

Đơn thức $b^5$ $C_5^5 = 1$

CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON

Từ HĐ4, sau khi rút gọn các đơn thức đồng dạng, ta thu được công thức khai triển:

$$(a + b)^5 = C_5^0 a^5 + C_5^1 a^4b + C_5^2 a^3b^2 + C_5^3 a^2b^3 + C_5^4 ab^4 + C_5^5 b^5$$

$$= a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$$

Trong khai triển nhị thức Newton $(a + b)^5$, các đơn thức có bậc là 5.

Ví dụ 2 SGK Trang 74

Khai triển: $(x + 3)^5$.

Lời giải:

Thay $a = x$ và $b = 3$ trong công thức khai triển của $(a + b)^5$, ta được:

$$(x + 3)^5 = x^5 + 5 \cdot x^4 \cdot 3 + 10 \cdot x^3 \cdot 3^2 + 10 \cdot x^2 \cdot 3^3 + 5 \cdot x \cdot 3^4 + 3^5$$ $$= x^5 + 15x^4 + 10 \cdot 9x^3 + 10 \cdot 27x^2 + 5 \cdot 81x + 243$$ $$= x^5 + 15x^4 + 90x^3 + 270x^2 + 405x + 243$$

Luyện tập 2 Tự luyện

Khai triển: $(3x - 2)^5$.

Hướng dẫn giải:

Thay $a = 3x$ và $b = -2$ vào công thức $(a + b)^5$:

$$(3x - 2)^5 = (3x)^5 + 5(3x)^4(-2) + 10(3x)^3(-2)^2 + 10(3x)^2(-2)^3 + 5(3x)(-2)^4 + (-2)^5$$ $$= 243x^5 + 5 \cdot 81x^4 \cdot (-2) + 10 \cdot 27x^3 \cdot 4 + 10 \cdot 9x^2 \cdot (-8) + 15x \cdot 16 - 32$$ $$= 243x^5 - 810x^4 + 1080x^3 - 720x^2 + 240x - 32$$

ỨNG DỤNG TÍNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG & VẬN DỤNG

NHẬN XÉT: TÍNH XẤP XỈ NHANH KHÔNG DÙNG MÁY TÍNH

Các công thức khai triển $(a + b)^n$, với $n \in \{4; 5\}$, là một công cụ hiệu quả để tính chính xác hoặc xấp xỉ một số đại lượng mà không cần dùng máy tính.

Khi $b$ có giá trị rất nhỏ so với $1$ (chẳng hạn $b = 0,01; 0,02; 0,05$), các số hạng bậc cao như $b^2, b^3, b^4, b^5$ vô cùng nhỏ, do đó ta có thể dùng 2 số hạng đầu tiên để ước tính: $$(1 + b)^n \approx 1 + n \cdot b$$

Vận dụng: Tính xấp xỉ lũy thừa $1,05^4$ SGK Trang 74

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của $(1 + 0,05)^4$ để tính giá trị gần đúng của $1,05^4$.

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của $1,05^4$ và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Lời giải chi tiết:

a) Tính giá trị gần đúng bằng hai số hạng đầu:

Khai triển $(1 + 0,05)^4 = 1^4 + 4 \cdot 1^3 \cdot 0,05 + 6 \cdot 1^2 \cdot 0,05^2 + 4 \cdot 1 \cdot 0,05^3 + 0,05^4$.

Lấy hai số hạng đầu tiên, ta được giá trị gần đúng:

$$1,05^4 \approx 1 + 4 \times 0,05 = 1 + 0,2 = 1,2$$

b) Tính sai số tuyệt đối:

Bấm máy tính cầm tay tính giá trị đúng: $1,05^4 = 1,21550625$.

Sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a là:

$$\Delta = |1,21550625 - 1,2| = 0,01550625$$

Nhận xét: Sai số chỉ xấp xỉ $1,55\%$, cho thấy phương pháp xấp xỉ bằng hai số hạng đầu rất tiện lợi và có độ tin cậy cao khi tính nhẩm nhanh.

BẢNG TỔNG KẾT HỆ SỐ NHỊ THỨC NEWTON (TAM GIÁC PASCAL)

Số mũ $n$	Biểu thức $(a + b)^n$	Các hệ số trong khai triển	Tổng các hệ số ($2^n$)
$n = 0$	$(a + b)^0$	1	$2^0 = 1$
$n = 1$	$(a + b)^1$	1 1	$2^1 = 2$
$n = 2$	$(a + b)^2$	1 2 1	$2^2 = 4$
$n = 3$	$(a + b)^3$	1 3 3 1	$2^3 = 8$
$n = 4$	$(a + b)^4$	1 4 6 4 1	$2^4 = 16$
$n = 5$	$(a + b)^5$	1 5 10 10 5 1	$2^5 = 32$

Em có biết? • Nhị thức Newton trong Di truyền học quần thể

Trong di truyền học quần thể, nguyên lí Hardy – Weinberg đưa ra công thức toán học tính tần số của các kiểu gene trong một quần thể (thoả mãn một số điều kiện cân bằng) ở các thế hệ.

Trong trường hợp ở mỗi vị trí trên nhiễm sắc thể chỉ có hai alen (là một trạng thái cụ thể của một gene) $A$ và $B$ với các tần số khởi đầu lần lượt là $p$ và $q$ ($p + q = 1$, tức là $100\%$), công thức của Hardy – Weinberg là hoàn toàn tương ứng với khai triển nhị thức Newton:

Tần số các kiểu gene $AA, AB, BB$ tương ứng là $p^2, 2pq, q^2$:
Ứng với: $(pA + qB) \times (pA + qB) = (pA + qB)^2 = p^2 AA + 2pq AB + q^2 BB$
Tần số các kiểu gene $AAA, AAB, ABB, BBB$ tương ứng là $p^3, 3p^2q, 3pq^2, q^3$:
Ứng với: $(pA + qB)^3 = p^3 AAA + 3p^2q AAB + 3pq^2 ABB + q^3 BBB$
Tần số các kiểu gene $AAAA, AAAB, AABB, ABBB, BBBB$ tương ứng là $p^4, 4p^3q, 6p^2q^2, 4pq^3, q^4$:
Ứng với: $(pA + qB)^4 = C_4^0 p^4 AAAA + C_4^1 p^3q AAAB + C_4^2 p^2q^2 AABB + C_4^3 pq^3 ABBB + C_4^4 q^4 BBBB$
Tổng quát: Tần số kiểu gene gồm $i$ alen $A$ và $j$ alen $B$ là $\mathbf{C_{i+j}^j p^i q^j}$.

(Theo Sinh học 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2017)

Làm bài tập củng cố của bài này →